## 概要

円 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ 上の点 $(x_{0},y_{0})$ での接線の方程式は、

$$(x_{0}-a)(x-a)+(y_{0}-b)(y-b)=r^{2}$$

で表される。

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## 例

円 $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=25$ 上の点 $(5,7)$ での接線の方程式は、

$$
\begin{align} 
(5-2)(x-2)+(7-3)(y-3)&=25\\\\
3(x-2)+4(y-3)&=25\\\\
3x+4y-43&=0
\end{align} 
$$

と求められる。

## 証明

円の中心 $(a,b)$ から直線

$$(x_{0}-a)(x-a)+(y_{0}-b)(y-b)=r^{2}$$

までの距離を考える。この直線の式を展開すると、

$$
\begin{align} 
&(x_{0}-a)x+(y_{0}-b)y\\\\
&-(x_{0}-a)a-(y_{0}-b)b-r^{2}=0
\end{align} 
$$

と変形できるので、距離は

$$
\begin{align} 
&\small\frac{|(x_{0}-a)a+(y_{0}-b)b-(x_{0}-a)a-(y_{0}-b)b-r^{2}|}{\sqrt{(x_{0}-a)^{2}+(y_{0}-b)^{2}}}\\\\
&=\frac{r^2}{\sqrt{(x_{0}-a)^{2}+(y_{0}-b)^{2}}}\cdots (1)
\end{align} 
$$

ここで、点 $(x_{0},y_{0})$ は円上にあるので、円の方程式に代入して、

$$
(x_0-a)^{2}+(y_0-b)^{2}=r^{2}\cdots (2)
$$

が成り立つ。

$(2)$ を $(1)$ に代入すると、$(1)$ は $r$ となり、円の中心 $(a,b)$ から直線

$$(x_{0}-a)(x-a)+(y_{0}-b)(y-b)=r^{2}$$

までの距離は $r$ とわかるので、この直線は円に接している。

また、点 $(x_{0},y_{0})$ を直線の式

$$(x_{0}-a)(x-a)+(y_{0}-b)(y-b)=r^{2}$$

に代入しても成り立つ（$\because (2)$）ので、点 $(x_{0},y_{0})$ はこの直線上にある。

よって、円 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ 上の点 $(x_{0},y_{0})$ での接線の方程式は、

$$(x_{0}-a)(x-a)+(y_{0}-b)(y-b)=r^{2}$$

で表される。

### 補足

- 覚え方としては、円の方程式の **$(x-a)^{2}$と$(y-b)^{2}$ の $2$ 乗のうち、それぞれ $x,y$ を $1$ つずつ $x_0,y_0$ に変える** と、直線の式となる
- ベクトルを用いた**綺麗な証明**は、例えば[ガチでノビる受験数学さんの証明動画](https://okedou.app/videos/gyA4tKqGWVA)を参照
- この式は **「円の上にある点」** の接線の式。「円の外部から引いた接線」は、また違う求め方をする。ここはとてもよく勘違いするので、問題を解きながら頭を整理しておこう

円の接線公式

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