円の接線公式

概要

円 上の点 での接線の方程式は、

で表される。

例

円 上の点 での接線の方程式は、

と求められる。

証明

円の中心 から直線

までの距離を考える。この直線の式を展開すると、

と変形できるので、距離は

ここで、点 は円上にあるので、円の方程式に代入して、

が成り立つ。

を に代入すると、 は となり、円の中心 から直線

までの距離は とわかるので、この直線は円に接している。

また、点 を直線の式

に代入しても成り立つ（）ので、点 はこの直線上にある。

よって、円 上の点 での接線の方程式は、

で表される。

補足

• 覚え方としては、円の方程式の と の 乗のうち、それぞれ を つずつ に変える と、直線の式となる
• ベクトルを用いた綺麗な証明は、例えばガチでノビる受験数学さんの証明動画を参照
• この式は 「円の上にある点」 の接線の式。「円の外部から引いた接線」は、また違う求め方をする。ここはとてもよく勘違いするので、問題を解きながら頭を整理しておこう