このチャンネルのメインコンテンツである，様々な大学入試問題の解説動画をまとめた再生リストです。

東大・京大の数学を中心に，大学入試問題を解説しています！受験生や数学を伸ばしたい高校生は，ぜひチャンネル登録をお願いします⭐️

京大には一般入試だけでなく「特色入試」というものがあります。
この入試は，数学が特に優秀な受験生を対象としています。
一般入試と異なり，たった 5 名しか合格しない狭き門です。
当然問題も超ハイレベル。日本の大学入試数学の中でもトップレベルに難しいですね。

今回は，2020年度京大特色入試（理学部，数理科学入試）の第 3 問を解説していきます。
テーマは整式。次数の大小関係が有る 2 つの整式 fx), g(x) についての不等式を証明するのが目標です。
証明せよと言われている事実は，感覚的にはごく当たり前のこと。
でも，大真面目に（論理的に，厳密に）証明しようとするととても大変です。
特に，「整式において |x| を大きくすれば，最高次数の値を残りの値に比べて十分小さくできる」という性質の証明が山場ですね。

高校数学ではあまり見ないタイプの証明問題ですが，大学教養レベルの数学の雰囲気を体感できます。
数学に自信のある人は，ぜひチャレンジしてみてください！
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【プロフィール】
林 俊介 （はやし しゅんすけ）
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。

2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
2019年 東京大学理学部物理学科 卒

・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
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＜目次＞
00:00 今回は 2020年度 京大特色入試 [3]
01:21 (1) 不等式の意味をイメージする
05:10 (1) (i) k = 0 のとき
06:12 (1) (ii) k ≥ 1 のとき
16:50 (1) のポイント：因数分解→約分
18:15 (2) 主張の意味をイメージする
20:14 (2) (1) の結果をどう利用するか
28:12 (2) 整式の係数を文字でおく
37:09 (2) f(x) についての補題と証明
50:46 (2) g(x) についての補題と証明
63:44 (2) 2 つの補題をどう利用するか
71:21 (2) 多くの x で g(x) が整数になる
83:22 (2) の終盤のまとめ
85:22 おわりに：証明を学ぶということ

MATH

【５人しか受からない超難関入試】京大 2020年度 特色入試 [3]【整式】

2021年度京大特色入試（理学部数理科学入試）[4] の解説。気に入っていただけたらぜひチャンネル登録お願いします！

xy 平面上の点列に関する問題。
与えられた条件を数列の条件にどのように翻訳するかがカギとなります。
「ある実数 ● が存在して，任意の ○ について〜が成り立つ」
のような表現は，京大特色入試で頻出です。
また，こうした書き方は，大学で習う数学でも頻繁に登場します。
特色入試を受験したい生徒や大学の数学に興味がある人は，今のうちに勉強しておきましょう。
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＜目次＞
00:00 今回は 2021 京大理学部特色 数学 [4]
00:10 問題紹介
01:28 (1) シンプルで明快な例を探す
10:19 (2) 不等式を和の形に分解する
18:51 (3) n を固定し m だけを動かす
23:15 (4) AnAn 1 の傾きを評価 
31:13 まとめ：量化子に慣れよう

【難問攻略】京大特色入試にチャレンジ！ 2021 [4]

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今回は東北帝國大學の入試問題をピックアップ。
非常にシンプルな見た目をしている有理関数ですが，実際に積分をするのはかなり大変です。
これまでに紹介してきた有理関数の積分テクニックをフル活用して，問題を攻略していきましょう。

分母が因数分解されていると部分分数分解しやすいので，まずは分母の x^4   1 を因数分解します。
ぱっと見因数分解できなさそうな形ですが，2 乗 - 2 乗の形を作ることで，実数係数の範囲での因数分解が可能です。
√2 という係数は発生しますが，係数が有理数か無理数かは，積分可能性に影響しません。

因数分解ができたら，あとは arctan や log の微分公式を活用して，強引に部分分数分解をしていき，積分を実行するだけです。
積分に自信のある人は，ぜひチャレンジしてみてください！
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＜目次＞
00:00 昭和7年 (1932年) の東北帝國大入試
00:27 積分の発想 
05:25 分母を因数分解する方法
07:21 部分分数分解の材料集め
14:45 分解のための係数調整
19:00 分解後の各項を積分
20:05 答えと解法のまとめ
22:12 おわりに

【東北帝國大學】シンプルに見えて超難しい積分【戦前入試問題】

今回もご視聴ありがとうございます！気に入っていただけたらぜひチャンネル登録してください♪

京大で頻出の定積分の問題。
√(1   x^2) がありますが，とりあえずは log を変形して根号をなくすのがポイントです。
いきなり x = tanθ とすると，複雑な形になってしまいます。
そのあとは，部分積分をすればすんなり計算できます。
1/(1 x^2) の積分はぜひ覚えておきましょう。
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【京大2012】log の定積分 | 大学入試 数学 過去問 解説

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今回は，京大の入試問題より，積分の不等式をご紹介。
パパッと証明する方法はないのですが，そんな中でもいかに計算を工夫するかがポイントです。
計算量を削減し，ミスのリスクが減るのであれば，当然その方がいいですからね！
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【京大2008】積分の不等式

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△ABC のうち 2 点 B, C の座標が与えられており，∠BAC の値もわかっているときに，
・△ABC の外心の位置
・特定の範囲を A が動いた際の，△ABC の垂心 H の軌跡
を問う問題です。
(1) は初等幾何的に考えやすく，かなり平易。
問題は (2) ですね。点 A の座標を文字でおいて，垂心をその文字で表す必要があります。
でも，最終的には垂心の座標がかなりシンプルな形になり，解後感はいいですね！
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＜目次＞
00:00 今回は 2021 京大 理系数学 [4]
00:21 曲線の長さの公式と導出
03:54 曲線の長さの公式に代入
07:49 求める長さ L を積分で表示
08:36 1/cos(x/2) の積分手法
10:06 被積分関数の部分分数分解
12:56 f'(x)/f(x) は対数の微分の形
15:44 最後の代入計算（答え）
17:20 答えの値の妥当性チェック
20:08 第 4 問のポイント
20:46 おわりに

【2021最新】京大入試問題 理系[4]【曲線の長さ】

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今回は，1993 年の京大の入試問題より，確率・不等式の問題です。

ポイントは 2 つ。まずは問題文の不等式を導く際に，対称性に着目すること。偶数でも奇数でも，話は変わりませんよね。
もう一つは，pn を正確に求めた後の評価。とりあえずコンビネーションを展開して，問題文の不等式と同じ形に強引にもっていくのがコツです。
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【京大1993】対称性に注目→ラフな評価

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2003年の東大理系数学より，複素数平面に関する問題をご紹介します。
極端に難しいということはなく，この分野の学習を終えた受験生にとってはちょうどよい演習問題になることでしょう。
東大合格を狙う理系受験生は，(2) までぜひとも正解したいところです。
(2) はさまざまな解法があり，その研究ができるという意味でも良問だと思います。
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＜目次＞
00:00 2003年 東大 理系数学 第2問
01:36 (1) 複素数の除算で偏角を求める
08:27 (2) 解法①：うまい t の値を探す方法
22:07 (2) 解法②：OP^2 の増減を調べる
27:12 (2) 解法③-1：Schwarz の不等式
30:20 (2) 解法③-2：ベクトルの内積を利用
35:00 t の値と点 P の位置の関係
36:59 おわりに

【東大2003】大学入試の演習にぴったりな良問【複素数平面】

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京大入試より，ちょっと難しい整数問題です。
文字ばかりなので，どこから手をつけたらいいかわからないですよね。
a^p - b^p が因数分解できることに気づけば，突破口が見えてきます。
方程式の整数解を求めるときもそうですが，整数問題では「積の形に直す」のがコツです。
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＜目次＞
00:00 問題紹介：京大の整数問題
00:34 解説①：左辺を因数分解できるのがポイント
02:47 解説②：a = b   1 をもとの式に代入し整理
04:13 解説③：(*) が p の倍数であることの証明
05:34 解説④：(*) が偶数であることの証明
06:43 まとめ：因数分解と二項定理
08:27 終わりに

【京大1995】どこから手をつける？手強い整数問題｜大学入試 数学 過去問 素数

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2020年の東大理系数学より，空間図形の問題をピックアップ。
やや複雑な立体の断面について調べ，断面積を求め，それを積分することによって体積を計算します。
この流れは東大理系数学の体積計算問題で定番のものですね。

ただし，本問では考えている領域が不等式で与えられているわけではないのが難しいところです。
線分 AP の通過領域全体を求める前に，まず点 P の z 座標を固定したときの断面を調べ，そのあとに z 座標を動かすことで，最終的な立体の断面を求めることができます。
それがわかったら，あとは断面積を求めて積分するだけであり，ただの多項式関数の積分なのでこれは容易です。
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＜目次＞
00:00 2020年度 東大 理系数学 [5]
01:01 (1) スケッチと方針
04:05 (1) 円の中心を求める
07:25 (1) のまとめ
08:41 (2) スケッチと方針
10:46 (2) xz 平面の断面図を描く
15:32 (2) P の z 座標を固定したときの断面
22:16 (2) 最終的な断面図
24:58 (2) 断面積と体積の計算
26:14 (2) のまとめ
28:08 おわりに

【東大2020】"断面" で攻略する体積計算問題【空間図形】

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今回は，大正11年の九州帝國大學工学部の問題。
数学 III の積分が好きな人なら誰でも解いたことがあるであろう，有名な積分がテーマです。
今回は，この積分の主な攻略法 3 つ，具体的には
▶︎ x = (y - 1/y)/2 と置換するもの
▶︎ x = sinhy と置換するもの
▶︎ x = tanθ と置換するもの
をご紹介します。

最近の東大・京大入試でも，定積分を正確に最後まで計算する能力が問われる問題が非常に多いです。
単に解法を覚えるだけでなく，自分でたくさん手を動かし，計算力を鍛えていきましょう！
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＜目次＞
00:00 大正11年 (1922年) の九大入試
00:51 変数変換（置換積分）の方針
05:03 解法①：x = (y - 1/y)/2 と置換
11:24 解法①のまとめ
12:49 解法②：x = sinhy と置換するもの
18:39 解法②のまとめ
20:29 解法③：x = tanθ と置換するもの
28:04 解法③のまとめ
29:04 今回のまとめ
29:54 おわりに

【九州帝國大學】100年前もあった有名積分！３つの攻略法【戦前入試問題】

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1998年の東大文系数学より，整数や不等式に関する問題をピックアップ。
(1) では，O(0, 0), P(1, 0), Q(a, b) により作られる三角形 OPQ が鋭角三角形となるための a, b の条件を求め，ab 平面に図示します。
「鋭角三角形」というのを同値な条件に言い換えるのがポイントです。
(2) では，a, b が (1) の範囲にあるときに，問題文にある不等式が成り立つことを証明します。
こちらが結構難問。今回は不等式の左辺を a の関数とみる解法を紹介しますが，他にも解法はあるので各自で考えてみてください。

(1) は文理問わず絶対に正解したい問題です。
(2) はやや難しいですが，a の関数とみる「視点変更」は，一つのテクニックとして覚えておいて損はないでしょう。
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【東大1998】整数だからこそ成り立つ不等式【整数・不等式】

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京大入試より，積分の数列に関する問題。
(1) で漸化式を求め，(2) で極限を計算し，(3) で「極限値との差の比」の極限を計算するという複雑な問題ですね。
最近扱っている問題と比べると難しめ。
これを解ければ，東大・京大レベルでも合格が見えてきます。
数学 III の知識が色々登場する良問。ぜひあなたもチャレンジしてみてください！

＜目次＞
00:00 問題紹介
00:39 解説①：(1) 部分積分で漸化式を導出
05:50 解説②：(2) まずは |cn| を上からざっくり評価
07:43 解説③：(2) (1) の結果を利用
09:22 解説④：(3) (1) の結果を用いて変形し，(2) も利用
11:15 まとめ：(1) 部分積分, (2) |cn| の評価, (3) これまでの結果を利用
12:47 おわりに
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【京大2000】積分＆漸化式＆極限｜大学入試 数学 過去問

難関国公立大入試を中心に，入試問題の解説をしています。ぜひチャンネル登録してください！

今回は，整式に関する証明問題です。

東大や京大などの難関国公立大学の入試では，こんなふうに整式に関する証明が出題されます。
勝手な決めつけ一切なしに，論理的な穴がないように答案を書いていくのが大切です！
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【京大2006】整式の証明問題

東大・京大の入試より，整式の割り算についての問題です。
問題文の書き方など細かいところは違いますが，問題としてはほとんど同じ。
ここまで一致率の高い問題もなかなか見られないですよね。
整式の割り算，数列，帰納法など数学 IIB の知識をたくさん使う良問です。
難関大受験生は，必ず一度は解いておきたいところです。
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＜目次＞
00:00 東大と京大でほぼ同じ問題！
00:32 東大 (1) セッティング
02:08 東大 (1) 割り算→余りの漸化式
04:12 東大 (2) 自然数であることの確認
06:03 東大 (2) 互いに素→帰納法
10:37 京大（大まかに）
14:24 まとめ：割り算を立式＆帰納法
15:07 おわりに

【東大＆京大】実質同じ問題！整式の割り算｜大学入試 数学 過去問

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2015年の東大文系数学より，整数の命題に関する大問をピックアップ。
命題 A, B の 2 つがあり，その各々について，真であればそれを証明し，偽であれば反例を与えるという問題です。

この類の問題は，反例がもしあるならば（命題が偽であれば）それを挙げるだけで答案が完成します。
なので，いきなり答案で議論を始めるのではなく，まず問題用紙の余白などでスピーディに計算をして，反例を探してみるのがよいと考えています。
反例があったらそれをぱぱっと答案に書けばおしまいですし，反例がない場合はメモを整理して答案に落とし込めばいいですからね。
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2015年 東京大学理科一類 入学
2019年 東京大学理学部物理学科 卒

・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
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＜目次＞
00:00 2015年 東大 文系数学 [1]
00:35 命題A: まずは反例を探す
01:14 命題A: 連続化して増減を調べる
04:58 命題A: n = 17 での f の値
07:49 命題A: 値の発見方法は不要
10:43 命題A のまとめ
14:01 命題B: n, m のみの式にする
15:54 命題B: n, m を分離して考える
18:45 命題B: n = m = 0 は反例か？
21:18 命題B: 答案の方針
22:38 命題B: 連続化した関数
24:56 命題B: n = m = 0 のときの議論
27:44 命題B のまとめ
32:28 学習者へのアドバイス
33:23 おわりに

【東大2015】整数の不等式に関する 2 つの命題【整数・集合と論理】

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今回は，昭和8年（1933年）の旅順工科大学の入試問題から，分数関数の積分をピックアップ。
1933年というと，日本が国際連盟から脱退した年として有名ですね。
当時は旅順工科大学という大学が関東州旅順にあり（1922年設立），そこで実施された入試の問題です。

分母の根号 √(x^2   1) を外すのが，当然ながら重要となります。
今回の動画では，この形の根号を外すときの定番手法を丁寧に解説。
難関大の受験生は必見です！
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【プロフィール】
林 俊介 （はやし しゅんすけ）
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。

2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
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＜目次＞
00:00 昭和8年 (1933年) の旅順工科大入試
00:18 前回の復習（根号を外す）
02:42 x = tanθ と置換
04:06 積分の書き換え
05:58 三角関数の有理関数の積分方法
08:26 1/(1 y^2) の積分と答え
09:40 解法のまとめ
11:20 類題：根号の外し方
13:53 類題：積分の書き換え
14:56 類題：1/cosθ の積分方法
16:59 類題：答えと解法のまとめ
17:47 類題：sinh を利用する方法
21:13 一辺倒にならない
22:12 宿題：√(1   x^2) の積分
22:46 おわりに

【旅順工科大學】複雑な分数関数の積分【戦前入試問題】

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1992年の京大文系数学より，領域に関する問題をピックアップ。
連立不等式を満たす領域を図示する問題です。

(1) はただ 2 次方程式を解くだけなので簡単です。
ただし，気付きにくいものの，同値性に関して注意すべき箇所があるので，動画ではそこを丁寧に解説しました。
「こんなの余裕だよ」と思わずに，ぜひそこもご視聴いただければと思います。

(2) でいよいよ領域の図示をするわけですが，max があるのが面倒です。
max の中にある 2 つの式のどちらが大きいかによって，満たしているべき連立方程式も変化します。
こういうときは，素直に「どちらの方が大きいか」で場合分けするのがオススメです。
絶対値つきの不等式を解くときと似た考え方ですね。
2 変数になっているので処理が難しいように思えますが，max の中身の 2 つが等しくなる点 (x, y) の軌跡はシンプルな円になるので，その内外で場合分けをすれば，案外あっさり問題が解けます。
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＜目次＞
00:00 1992年 京大 文系数学 [1]
00:51 (1) 連立方程式を解く
02:20 (1) 実は悩ましいポイントがある
03:35 (1) ② に代入した場合
05:30 (1) 「二次方程式だから」ではない
06:14 (1)【重要】余計な解が出る理由
12:16 (2) 境界となる直線・曲線の図示
13:49 (2) max の境界線（円）の図示
15:32 (2) 円の内外で場合分け
18:27 (2) 答え
18:55 (1) (2) の解法のまとめ
20:53 図を活用して攻略
21:46 【重要】符号や大小で場合分け
23:56 おわりに

【京大1992】max の場合分け，どうする？【不等式・領域】

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2000年度の京大理系数学より，2 次方程式の複素数解に関する問題をピックアップ。
(1) では，放物線（の半分）と直線が共有点をもつような定数 a の範囲を求めます。
直線が a の値によらず通る定点の存在に気づくことができれば，苦労せずに解ける問題でしょう。
この問題に限らず，パラメータの値によらず曲線や直線が通る定点というのは，問題を解くうえで役に立つことが多いですし，少なくともグラフを図示するうえでは確実に役に立ちます。

(2) では，2 次方程式の複素数解の絶対値がテーマになっています。
一見 (1) とは関係ないように見えますが，両辺を a^2 で割り算することで，(1) が使える形になりますね。
直線と放物線（の半分）の共有点が実数解と対応しているわけですから，共有点の x 座標が大きい方が β ということになりますね。
ただし，(1) が使えるのはあくまで実数解が存在する場合のみ。虚数解の場合は別途議論が必要なので注意しましょう。
実数解をもつときの |β| の最小値を (1) を利用して求め，虚数解をもつ場合の |β| はそれよりも大きくなることを証明すれば OK です。

(2) では虚数解をもつ場合もあるので，そこで混乱して手が止まってしまう人も多いのではないでしょうか。
ただ，特別なテクニックが必要というわけではないので，差がつく難問という印象です。
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＜目次＞
00:00 2000年 京大 理系数学 [2]
00:45 (1) C: y = √x のグラフ
02:12 (1) 直線 l が通る定点はあるか？
03:48 (1) 直線 l の傾きの範囲は？
06:04 (1) 答えのイメージ
07:44 (1) x ≥ 1/2 では交点をもたない
10:11 (1) 原点を通るとき＆接するとき
14:54 (1) 条件をみたす a の範囲
16:47 (1) 解法のまとめ
19:05 (2) (1) との関係は？
20:19 (2) 方程式 (★) が実数解をもつとき
26:45 (2) 実数解をもつ場合のまとめ
28:23 (2) 方程式 (★) が虚数解をもつとき
32:05 (2) 結論と解法のまとめ
35:01 (2) おわりに

【京大2000】二次方程式の複素数解の大きさ【方程式・複素数】

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2017年の京大文系数学 [2] より，対数と整数の融合問題をピックアップ。
(1) では，2 以外の素因数をもたない 100 桁以下の自然数の個数を求めます。
これは教科書や傍用問題集にも載っているレベルで，確実に正解したいところです。

難しいのは (2) 。素因数として新たに 5 が加わっており，またちょうど 100 桁でなければいけないので，難易度が跳ね上がっています。
計算の難易度が難しいというわけではないですが，多くの受験生は，どうやって数えればよいのか見当をつけることさえできないのではないでしょうか。
対数をとったときの区間の幅がちょうど 1 なので，log(10)5 = 1 - log(10)2 であることを利用して，整数の項を無理やり出すことで解決の糸口が見えてきます。
超難問というほどではないでしょうが，(2) を自力で解ける人はかなり実力があるといえるでしょう。
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＜目次＞
00:00 2017年 京大 文系数学 [2]
00:30 (1) 2^m と書ける数が答え
01:49 (1) 10 を底とした対数で m を評価
02:57 (1) 100/(log(10)2) の値の評価
05:47 (1) 答えと解法のまとめ
07:41 (2) 2^m·5^l と書ける数が答え
08:55 (2) 対数をとり不等式を立てる
10:06 (2) log(10)5 の変形＆方針
15:04 (2) m - l を別の文字でおく
17:27 (2) k ≧ 0 の場合
21:24 (2) k が負：l の範囲
23:11 (2) k が負：k の必要条件
25:56 (2) k が負：十分性の確認
29:09 (2) k と l の対応は一対一
29:42 (2) 答えと解法のまとめ
35:17 おわりに

【京大2017】(1) は簡単，でも (2) は差がつく難問！【対数関数・整数】

今回も京大の問題ですが，難易度はだいぶ低め。
教科書に載っていてもおかしくないレベルです！

京大入試といえど，文系ではこれくらいのレベルの問題が出ることもあります。
「あれ，京大入試の中にも簡単な問題あるんだな。もしかしたら私も京大行けるかも？」
そう思ってもらえたら幸いです。
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【京大1998】絶対に正解しなきゃいけない図形問題

東大・京大の大学入試問題を解説中！受験生や数学を伸ばしたい高校生はぜひチャンネル登録お願いします✨

今回は大正14年の工学部の問題。
不定積分や定積分の問題 3 つで構成されています。
最近の東大入試でも，定積分を計算するだけの問題やそれに近い問題が出題されていますし，京大ではこういう問題は頻出ですが，それは昔も変わらないようですね。

(a) は部分積分を活用するシンプルな問題です。数学 III の積分を一通り勉強した人はぜひトライしてみましょう！
(b) はいわゆる広義積分ですが，x = a という特異点を跨いでいることもあり，扱いが難しいので今回のメインテーマではありません。
(c) の積分はややレベルが高いので，難関大を受験する人向けですね。
東大・京大志望の受験生は，(a) (c) ともに解ける必要があります。
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＜目次＞
00:00 大正14年 (1925年) の東大入試
00:16 (a) 部分積分の公式（おさらい）
02:31 (a) 部分積分の公式の使い方
04:22 (a) 公式を適用し積分計算
07:47 (a) のまとめ
08:22 (b) 特異点と広義積分
10:03 (b) 変数変換し偶関数にする
11:27 (b) 積分を極限の形に変形
12:42 (b) 広義積分の補足
16:02 (c) 積分の方針
16:43 (c) 分母をシンプルにして分離
18:13 (c) ①を部分積分で攻略
20:23 (c) ②の積分は打ち消し合う
21:37 (c) のまとめ
22:35 今回のまとめ
23:37 おわりに

【東京帝國大學】やっぱり昔もあった！積分問題【戦前入試問題】

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今回は，昭和7年（1932年）の東京工業大学の入試問題。
根号を含む分数関数の不定積分をする問題です。

分母にある根号をどうにかして外していきます。
この形の根号を外すためには，「 2 乗の和が常に 1 になるようなモノ」を用意する必要があり，だからこそ三角関数が登場するわけですね。
数学III の積分の定番テクニックなので，ぜひ覚えておいてください！

ただ，√(C - x^2) の形が登場したときにいつも sinθ を用いて置換をするのがベスト，というわけではないのが難しいところ。
動画の後半で扱っている類題は，sin による置換よりも簡単な方法があるようなものをあえて選んでみました。
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＜目次＞
00:00 昭和7年 (1932年) の東工大入試
00:39 根号を外すのがカギ
04:13 x = sinθ と置換
06:04 定積分 I(φ) を計算
07:51 φ → π/2 - 0 の極限を計算
08:44 解法のまとめ
11:03 類題：同じ形の根号を含む積分
13:25 類題：x = asinθ と置換
17:12 類題：(sinθ)^3 の積分計算
18:52 類題：y を θ 経由で x に直す
21:05 類題：解法のまとめ
23:46 類題：別解がある
24:08 類題：別解① x^2 = y
25:23 類題：別解② 分母を z とおく
28:17 類題：一辺倒に置換しない
30:27 おわりに

【東京工業大學】根号を含む分数関数の積分【戦前入試問題】

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2016年の京大理系数学より，二次方程式の複素数解に関する問題をピックアップしました。
複素数係数の 2 次式 f(x) = x^2 + ax + b について
(イ) f(x^3) が f(x) で割り切れる
(ロ) a, b の少なくとも一方は虚数（実数でない）
が成り立っているときに，f(x) として考えられるものを全て求めるというものです。

条件 (ロ) は，係数の片方が実数でないということしか述べていないので，かなり弱い条件です。
まずは (イ) を使うことになります。
f(x^3) が f(x) で割り切れるということから，2 次方程式 f(x) = 0 の解の 3 乗もまた f(x) = 0 の解になっていることに気づけるかどうかが最初の山場です。
言われてみれば当たり前なのですが，案外見落としやすいように思います。

解の 3 乗も解になっていることがわかったら，あとはもとの解と 3 乗した解の対応づけによって場合分けし，f(x) を求めていくだけです。
途中からはパズルのような問題になるので，解いていて楽しいかもしれませんね。
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00:00 2016年 京大 理系数学 [6]
00:44 条件 (イ) からいえること
05:28 解の対応づけで場合分け
07:17 [1] f(x) = 0 が重解をもつとき
10:05 [2] f(x) = 0 が重解をもたないとき
13:43 [2-1] α^3 = α, β^3 = β のとき
15:35 [2-2] α^3 = β, β^3 = α のとき
27:52 [2-3} α^3 = α, β^3 = α のとき
33:36 答えと解法のまとめ
37:19 学習上のアドバイス
38:07 宿題：割り算を実行する方法
39:15 おわりに

【京大2016】「強い条件」は何だろう？【方程式・複素数】

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今回も前回に引き続き，大正14年の京都帝國大學工学部の入試問題。
放物線 y^2 = 4ax の頂点から点 (a, 2a) までの長さを計算していきます。

latus-rectum というのは，今回の場合点 (a, 2a), (a, -2a) を結ぶ線分のことをいいます。
動画内では日本語訳がよくわからないとお伝えしましたが，「通径」（つうけい）と呼ばれるようです。
普段あまり使わない言葉ですね。

曲線の長さの公式を用いて計算するのですが，見た目以上に面倒な積分になります。
難しめの積分の定番問題ですね。
今回は，代表的な計算方法を 2 つご紹介します。
どちらも使えるようにしておくことをおすすめします！
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＜目次＞
00:00 大正14年 (1925年) の京大入試
00:23 単語の意味＆問われている長さ
04:18 曲線の長さの計算公式
05:28 公式を今回の曲線に適用
06:28 変数変換して見た目を簡単にする
09:04 積分方法 ① tanθ を利用
17:21 積分方法 ② sinh(t) を利用
24:16 解法のまとめ＆アドバイス
25:16 おわりに

【京都帝國大學】放物線の長さは？【戦前入試問題】

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今回は，大正14年の京都帝國大學工学部の問題。
三角関数により構成される分数関数が最大となるような θ を求める問題です。
微分をして増減を調べることになりますが，いきなり微分をすると計算がややこしくなります。
まず下処理として，二倍角の公式を用いて掛け算や指数を無くすのがポイント。
そうすることで，計算の手数を減らせますし，計算ミスも減少します。

平凡な問題で面白みはないかもしれませんが，実際の大学入試においては，こういう普通の問題を普通に正解するのが非常に重要です。
理系の大学受験生は，ぜひ一度自分でも解いてみてください！
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00:00 大正14年 (1925年) の九大入試
00:42 いきなり微分はしたくない
03:38 微分しやすい形に変形する
04:59 分数関数を微分する
06:23 分子だけを計算していく
10:47 周期性も利用して増減を調べる
12:28 分母や分子が 0 になる θ を求める
15:10 f(θ) の増減表を書く
19:42 f(θ) のグラフを書く
21:21 f(θ) が最大になる θ（答え）
22:18 解法と工夫のまとめ
24:46 おわりに

【京都帝國大學】いかにミスなく楽に計算するか【戦前入試問題】

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今回は，昭和10年の東大入試より，定積分の問題をご紹介。
ただの有理関数や三角関数だけの式の積分は簡単なのですが，今回はごちゃ混ぜになっており，見るからに難しいです。
実際，ほとんどの人がこの積分を計算できないのではないでしょうか。（難問として有名なので，その意味で知っている人はいると思いますが。）

この動画では，いきなり問題の解説に入らず，ある種の対称性を有する関数の積分に便利な King Property と呼ばれる公式についてご紹介します。
当たり前といえば当たり前の式なのですが，今回の積分もこの King Property を利用することで計算ができるのです。

被積分関数の x 以外が，x = π/2 に関して対称的であるのがポイント。
その成立を利用し，x → π - x と変換することで，解決の糸口が見えてきます。
うまく x を消すことができたら，あとは三角関数の有理関数の積分をするだけです。
面倒に見える式でしたが，答えはかなり綺麗になりました。

この積分，今となっては知っている人もそこそこいますが，当時全くのノーヒントで東大入試に出たんです。
果たして，当時の受験生のうち何人がこれを解けたのでしょうか......
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・2014年 東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
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＜目次＞
00:00 昭和10年 (1935年) の東大入試
00:43 King Property とは
02:47 f(a+b-x) = -f(x) の場合
05:36 f(x)+f(a+b-x)=const. の場合
07:47 King Property の例題①
12:53 King Property の例題②
15:49 King Property の例題③
18:43 今回の積分の一般形
20:55 今回の積分の計算方法
24:14 King Property のまとめ
26:02 宿題！（積分の難問）
27:07 おわりに

【東京帝國大學】本当に入試に出た積分の難問【戦前入試問題】

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今回は，2004年の京大文系数学 [1] より三角関数の最大値・最小値の問題です。
4 倍角の公式で sinθ や cosθ のみの式にしなければいけないかと思いきや......
苦労せずに問題を解く方法をご紹介します。

★補足
理系数学では，θ の範囲が 0º ≦ θ ≦ 135º (0 ≦ θ ≦ 3π/4) になっています。
この設定の場合の最大値・最小値も考えてみてください！
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【プロフィール】
林 俊介 （はやし しゅんすけ）
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。

2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
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＜目次＞
00:00 2004年 京大 文系数学 [1]
00:49 解説①：cos4θ をどうするかがカギ
02:48 解説②：cos2θ に関する二次関数の地域を求める
05:04 解説③：最大値・最小値を実現する θ の値
05:57 まとめ：次数は低い方がいい
06:29 おわりに

【京大2004】三角関数の最大値・最小値 | 大学入試 過去問 数学

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京大の入試問題より，空間図形の証明問題です。
抽象度の高い問題。苦手とする受験生が多い印象です。
こういう問題では，「与えられた条件」「証明したいこと」をどのように数式で表現するかがカギですね。
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【京大2008】数式のない空間図形の難問｜大学入試 数学 過去問

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今回は大正14年の東北帝國大學の入試問題。
工学部の 2 問と理学部の 2 問を併せてご紹介します。
異なる学部ではありますが，出題には共通のテーマが潜んでいるようです。
実際に解いてみると，その繋がりに気付きますね！
少なくとも当時は，理学部入試の方が要求される数学力は高かったといえます。
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＜目次＞
00:00 大正14年 (1925年) の東北大入試
00:47 (1) 分母と分子の関係に着目
04:14 (2) 1/(logx) をいかにして作るか
10:54 (3) tan を分数表示 → 対数
13:08 (4) arctan という関数について
18:50 (4) 解法１：部分積分で攻略
25:07 (4) 解法２：図を用いて攻略
32:13 おわりに

【東北帝國大學】理系受験生対策必須の積分【戦前入試問題】

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2011年の京大文系数学より，指数・対数に関する問題をピックアップしました。
条件をみたす整数の和 Tn, Sn を求めたのちに，Sn ≥ 15 Tn となる n の値を，対数を利用して求めていきます。

Tn の計算は絶対に正解したいところですね。
Sn は一見面倒ですが，"0" を有効活用することで実は Tn と同じように計算できます。
あとは Sn ≥ 15 Tn を解くだけですが，京大入試では対数の値が不等式で与えられているため少々面倒です。
とはいえ，n はあくまで正の整数なので，ゆるい評価でも十分結論を出すことができます。

なお，動画の終盤でも紹介していますが，実は対数の値の不等式を用いずとも正解を導くことは可能です。
図形問題などの条件と異なり，対数の値は用いなくても問題が解けるケースが稀にある，というのは頭に入れておくといいかもしれませんね。（もちろん，多くの場合は用いますが。）
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00:00 2011年 京大 文系数学 [5]
00:48 (1) Tn を計算する
04:33 (1) Tn の検算をしよう
07:08 (2) 方針：同じ方法で Sn が求まる
10:45 (2) 答案での説明
12:19 (2) Sn の計算
14:21 (2) Sn ≥ 15 Tn を解く
16:47 (2) 右辺の値の評価
20:07 (2) のまとめ
22:59 (2) 対数は実は不要
27:14 学習者へのアドバイス
28:01 おわりに

【京大2011】面倒に見える (2) をどう片付けるか？【指数関数・対数関数】

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今年の京大理系数学から，確率の問題をピックアップ。
難しい問題ではないですが，複数の解法がある面白い問題です。
実際の試験で別解を答案に書くわけではありませんが，複数の方法を知っていればそれを用いて検算することができます。
アクロバティックな解法を覚える必要はありませんが，この動画で紹介しているものはどれもそこまで不自然ではないはずなので，使えるように勉強しておくとよいでしょう。
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＜目次＞
00:00 2022年 京大 理系数学 [2]
00:43 4 つの解法をご紹介します！
01:02 解法①：Y の値で分類する
07:28 解法②：○・× を並べる
11:27 解法③：並べるものを工夫する→最後を削る
16:44 解法④：余事象を考える
24:00 複数の解法を学ぶ意義
26:22 一般項は "検算" をしよう
28:22 おわりに

【京大2022】多面的に考え，検算をしてみよう【場合の数・確率】

2021年の国公立大学入試を解説中！来年の受験生や中高生はチャンネル登録よろしくお願いします。
今回は理系第 6 問。4 次式が有理数係数の 2 次式に因数分解できるための条件を調べる問題です。

あまり見ないタイプの問題ではありますが，(1) は非常に簡単です。
(2) も，手元にある条件式を組み合わせることで答えを導くことができます。
(3) がやや難しいかもしれません。
4 次式の係数がまさに (2) の b, c と同じになっているので，(2) を使うのは明らかなのですが，どういう論理展開なのか整理するので苦労する感じです。
この問題は，式の取り扱いや論理について勉強するいい題材になるのではないでしょうか。
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＜目次＞
00:00 今回は 2021 東大理系数学 [6]
00:56 (1) 展開し，各次数の係数を比較
04:00 (1) 連立方程式を解く
05:17 (2) 方針：p の偶数次だけ出したい
06:49 (2) q と r の積を計算し，変形
09:18 (2) 降冪の順に整理し，係数比較
12:01 (2) 条件式の数に関する注意事項
12:53 (2) の計算結果（答え）とまとめ
13:51 (3) 因数分解の形に関する注意事項
19:45 (3) (1), (2) との関係
21:27 (3) (i) p ≠ 0 のとき
26:51 (3) (ii) p = 0 のとき
30:34 (3) のまとめと結論
31:50 おわりに

【2021最新】東大入試問題 理[6]【恒等式・因数分解】

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★リメイク版作りました！
解説の不要箇所を削除し，理解しやすくしています。（問題 b の解説もあります）
https://youtu.be/T5xK_tmP1Uw

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今回は，東北帝國大學の入試問題より，tan の冪乗の不定積分をピックアップ。
tan がらみの積分は，sin や cos と違った式変形をすることが多く，扱っていて面白いですね。
今回も，初手は部分積分ではないのが特徴的です。

漸化式を立てたら，それを用いて一般項を求めるのですが，I_{n} と I_{n-1} の差ではなく和が出てくるので，一般項を求める際は -1 の冪乗をかけるのがポイントですね。
最終的に，今回はシンプルな形ではなく，複数個の tan の和になります。
問題では 2n 乗（つまり偶数乗）しか問われていませんが，せっかくなので奇数乗も計算してみました。
大まかな流れは一緒ですが，tan^0 (=1) の積分と tan^1 の積分の違いが結果に現れます。

★補足
J の積分でなぜか部分積分をしていますね......
もちろん誤りではないのですが，普通に冪乗の合成関数の微分なので，部分積分をする必要はありません！
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＜目次＞
00:00 昭和8年 (1933年) の東北帝國大入試
00:25 方針：漸化式を出す
00:48 積分 I_n を分解
02:23 積分 J の計算
05:45 積分 I_n の漸化式
06:30 漸化式の使い方
11:53 解法のまとめ
13:14 n = 4 の場合のチェック
14:43 2n+1 乗（奇数乗）の積分
17:54 おわりに

【東北帝國大學】tan の冪乗の積分【戦前入試問題】

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今回は，大正14年の東北帝国大学理学部数学科の入試問題。
楕円の 2 つの半径に関する，美しい性質を証明する問題です。
二次曲線は，こういう綺麗な性質がたくさんあって大変興味深いです。
前回の動画では放物線に関する性質を紹介しているので，ぜひそちらもご覧ください！

基本的に，二次曲線は理系の大学受験生しか扱わないと思うのですが，興味があったらぜひ勉強してみてはいかがでしょうか？
※放物線は高校数学で何度も登場しますし，双曲線は実は中学数学でも登場しています。また，楕円は円をある方向に引き伸ばしたものです。
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＜目次＞
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00:00 大正14年 (1925年) の東北大入試
00:32 円にリスケールしても解決しない
02:31 楕円上の点を媒介変数表示
03:57 θ = 0, π/2 のとき（明らか）
04:35 直線 CQ の傾きを求める
06:01 Q の x 座標の 2 乗を求める
08:29 CQ^2 を求める
11:11 のちの計算のための前処理
12:52 実は場合分けは不要
13:27 1/CP^2   1/CQ^2 を計算
15:08 目的の式に強引に変形する
17:57 解法のまとめ
19:10 手を動かせば確実に正解できる
21:05 おわりに

【東北帝國大學】楕円の美しい性質を証明！【戦前入試問題】

今回も京大の過去問です。
整式の関数方程式がテーマとなっています！

関数方程式は何より見た目がゴツいので，なんとなく苦手意識を持っている人も多いかもしれません。
でも典型的な解き方がいくつかあるので，そこらへんをマスターすればそんなに苦労しません。
今回の問題は，その定番手法が登場しているので必見です！
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【京大 2009 関数方程式】典型的な解き方をマスターしよう

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京大には一般入試だけでなく「特色入試」というものがあります。
この入試は，数学が特に優秀な受験生を対象としています。
一般入試と異なり，たった 5 名しか合格しない狭き門です。
当然問題も超ハイレベル。日本の大学入試数学の中でもトップレベルに難しいですね。

今回は，2019年度京大特色入試（理学部，数理科学入試）の第 2 問を解説していきます。
整式に関する 2 つの証明問題で構成されています。

(1) は，有理関数の部分分数分解に関する問題。
両辺の分母を取り払うことにより整式の恒等式の問題になり，代入する x の値を工夫することで，係数 c0 ~ cn を求めることができます。

(2) は，整式に関する複雑な恒等式を証明する問題。
(1) を利用する方法を考えたのですが，なかなか見つけることができませんでした。
そこで今回は，(1) を用いずに証明をしています。
やはり分母の x を取り払い，両辺を整式にしてからそれを証明するという方針です。
整式なので，両辺の次数 +1 個の相異なる x を代入して等号が成立すれば，恒等式であることを証明できる，というのがポイントです。
動画内でも紹介していますが，整式（多項式）の一致の定理については，興味があったら各自で調べてみてください！
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＜目次＞
00:00 2019年度 京大特色入試 [2]
01:02 (1) 関数 G の導入＆式の書き換え
04:47 (1) (☆) を考えればよい理由
07:55 (1)係数を求める方針
11:54 (1) 条件式の一般形
15:56 (1) (n-k)!ck を用いた書き換え
17:55 (1) 連立方程式の特徴
21:21 (1) 解法のまとめ
24:29 (2) 分母の x を取り払う
26:30 (2) 整式の一致の定理
29:39 (2) 証明の方針
33:02 (2)(i) a = b = 0 のとき
34:13 (2)(ii) 代入する x の値
36:22 (2)(ii) x = 2m+1 を左辺に代入
38:36 (2)(ii) x = 2m+1 を右辺に代入
46:59 (2)(ii) 組み合わせ論のアプローチ
52:21 (2) 解法のまとめ
54:56 おわりに

【５人しか受からない超難関入試】京大 2019年度 特色入試 [2]【整式の証明問題】

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2016年の京大入試より，3 次方程式の解についての問題をピックアップ。
実数係数の 3 次式 f(x) について，
▶︎ f(x) = 0 の全ての解 α について，α^3 も解になっている
▶︎ f(x) = 0 の解の中に虚数が少なくとも 1 つ存在する
という条件が成り立っているときに，この f(x) の具体形を求めていきます。

理系の大学受験性であれば de Moivre 定理を学習するので，解となる複素数の大きさが 1 であるとすぐイメージできるでしょうが，文系受験生だとまずそこに思い至るのが難しいかもしれませんね。
最初の突破口は，f(x) = 0 に実数解 x = t が 1 つ存在し，その実数解を 3 乗したものはもとの t 自身であるという事実です。
実数は 3 乗してもやはり実数である以上，t^3 = t でなければいけないわけですね。
ここから t の値を絞ることができます。

あとは，虚数解の 3 乗がどの解と一致しているかで場合分けをしていけば，手数はかかるものの f(x) を求めることができます。
たったこれだけの条件でも，f(x) が決まるのが面白いところですね。
京大の文系数学にしてはかなりの難問ですが，大変面白い内容で，論理的思考力が問われる良問でもあります。
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00:00 2016年 京大 文系数学 [5]
00:37 実数係数 3 次方程式の実数解
06:19 f(x) = 0 の実数解を求める
10:06 (i) t = 0 のとき
10:57 (i)[1] β^3 = β のとき
11:26 (i)[2] β^3 = βbar のとき
20:01 (ii) t = 1 のとき [1][2]
21:51 (ii)[3] β^3 = 1 のとき
23:18 (iii) t = -1 のとき [1][2][3]
25:16 答えのまとめ
25:51 解法のまとめ
28:41 おわりに

【京大2016】突破口はどこだ？３次方程式の難問【図形の性質・不等式】

今回もご視聴ありがとうございます！大学入試の過去問解説をメインにやっています。ぜひチャンネル登録お願いします！

サイコロの出目の「最大値 − 最小値」に関する問題。
この差が 1 である場合と 5 である場合で，考え方がいろいろ変わってきます。
シンプルな問題設定ですが，少し頭を使いますね💡
事象の包含関係を Venn 図で整理するのがオススメです。
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【京大2017】サイコロの確率（最大値 − 最小値）| 大学入試 過去問 解説

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今回も京大の問題。
前回の動画よりは難易度が下がっています。
理系の大学受験生は，絶対に解けるようにしておきましょう！

前回も述べましたが，京大理系の第一問には，こうして定積分が出題されることがよくあります。
京大受験生は重点的に対策しておきましょう！
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【京大2019】理系大学受験生は抑えておきたい，標準レベルの積分

東大・京大の入試問題などを解説中！受験生や数学を伸ばしたい高校生はぜひチャンネル登録お願いします〜

東大の過去問より，二項係数に関する整数問題です。
僕が東大受験をしたときの問題ですね。
整数問題が得意な人からすると大して難しくないのですが，苦手な人にとっては方針の立てにくい問題だったことでしょう。
二項係数を分数の積に分解するのがポイントです！
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林 俊介 （はやし しゅんすけ）
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。

2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
2019年 東京大学理学部物理学科 卒

・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
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＜目次＞
00:00 問題紹介：2015Cm
00:37 ① 実験と方針
02:09 ② 2015Cm を分解
03:39 ③ 各分数の素因数 2 に着目
06:24 ④ 予想と証明
08:56 ⑤ 2015C32 について
09:47 まとめ：m 個の分数に分解
12:05 おわりに

【東大2015】整数＆年号問題！｜大学入試 数学 過去問

2021年の国公立大学入試を解説中！来年の受験生や中高生はチャンネル登録よろしくお願いします。

小問 2 つで構成されている大問。

問1 はベクトル（空間図形）の問題。
3 点を通る平面 α に関して，ある点と対称の位置にある点の座標が問われています。
動画で解説しているように，平面 α の方程式を立てることで，平面 α の法線ベクトルを求めるのがポイントです。
法線ベクトルさえ求めることができれば，あとは定期試験レベルの平易な問題ですね。

問2 は確率の問題。
事象の包含関係を正確に把握し，確率の足し算や引き算を行う必要がある問題です。
東大や京大では，これまでにも似たような問題が多数出題されていますね。
落ち着いて図示などすればそこまで難しくありません。
難関大受験生は必ず練習しておきましょう。
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【2021最新】京大入試問題 理系[1]【ベクトル・確率】

00:00 問題紹介：2 x n の敷き詰め
00:47 解説①：A1, A2, A3 のパターンの書き出し
02:42 解説②：具体例から漸化式をイメージ
04:00 解説③：(1) 右端の形で分類→漸化式
06:10 解説④：(1) のまとめ
06:52 解説⑤：(2) 3 項間漸化式の解き方
07:58 解説⑥：(2) 特性方程式→ 2 つの等比数列
11:21 解説⑦：(2) 2 つの式から An を計算
13:14 解説⑧：(2) のまとめ
14:09 課題：An を出す方法
14:47 おわりに
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【東大1995】敷き詰め問題も漸化式で！｜大学入試 数学 過去問

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今回は，1997年の京大文理共通問題より，軌跡に関する問題をピックアップ。
条件を満たす点 Q の軌跡を求めるというものです。
軌跡や通過領域は，多くの受験生が苦手とする分野の 1 つでしょう。
特に必要性・十分性あたりの確認が難しいです。

ただし，この問題については (1) (2) の 2 段階に分かれているので，その辺りの論理は意識しやすくなっています。
まず (1) を解くことにより，s = AP によらず t = OQ = 2 が成り立つことがいえます。
点 Q は，原点を中心とする半径 2 の円 C' 上にあるということですね。これが必要条件です。
あくまで円 C' 上にある「必要がある」というだけで，円 C' 全てが点 Q の軌跡になるというわけではありません。

そこで (2) では，C' のうちどの部分が点 Q の軌跡になるのかを調べていきます。
線分 AQ と円 C が共有点をもてば，その点のうち 1 つを点 P とすればよいので，十分性が満たされます。
線分 AQ と円 C が共有点を持たないような位置だと点 P をとることができないため，その点 Q は答えには入らないことになりますね。

軌跡や通過領域の問題では，このように必要性・十分性の双方を意識するのが大切です。

なお，実戦的には様々な解き方をする人がいると思うので，今回は別解を複数紹介してみました。
色々な解法を扱えるようにしておくと，どんな問題にも柔軟に対応できるようになります。
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＜目次＞
00:00 1997年 京大 文系[1] 理系[1]
00:39 問題の状況を図示
02:03 (1) 解法1 余弦定理を用いるもの
06:57 (1) 解法2 方べきの定理を用いるもの
12:26 (1) 解法3 P(cosθ, sinθ) と表すもの
20:06 (2) 方針：十分性に注意
22:55 (2) 接線を引きその間を答えとする
26:29 (2) 別解：Q の x 座標を θ で表す
29:01 (2) 解法のまとめ
29:24 (2) おわりに

【京大1997】必要性と十分性を意識して軌跡問題を攻略【図形と方程式】

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2008年度東大理系数学[5]より，整数に関する問題。
1, 11, 111, ... のように，整数がたくさん並んだ数に関する証明問題です。
難関大入試では，こんな感じで整数の証明問題が頻繁に出題されます。
特に理系の受験生は対策必須ですね。
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＜目次＞
00:00 2008年 東大理系数学 [5]
00:55 記号の定義
01:43 (1) 数学的帰納法で証明
07:16 (1) のまとめ
07:55 (2) 証明の方針
09:10 (2) p → q の証明
10:31 (2) q → p の証明
14:56 (2) のまとめ
16:21 おわりに

【東大2008】1 がたくさん並んだ数｜大学入試 数学 過去問 整数

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京大入試より，確率の問題です。
「装置を 20 回押したら 36% の確率で 1 回以上あたりがでる」という条件の与え方が珍しいですね。
これをどう数式にするかがポイントです。
n の不等式を立てて解いたら，log を含む式の値を評価することになります。
こうした評価は，京大入試で頻出です。

＜目次＞
00:00 問題紹介：確率
00:44 解説①：問題文の条件（ 20% ）を数式化
01:50 解説②：回数 n が満たす式を立てる
03:00 解説③：n についての不等式を解く
03:56 解説④：右辺の値の評価
05:22 答え
05:33 まとめ：余事象＆ log を含む式の評価
07:00 おわりに
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【京大2016】ボタンを何回押せばいい？｜大学入試 数学 過去問 確率

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

＜目次＞
00:00 2016年 東大 理系数学 第4問
00:45 5 つの解法で攻略
03:10 A, B, C が相異なる点であるための条件
04:31 解法① 実部・虚部を文字でおく
17:01 解法② 内積を利用する
22:04 解法③ z, zbar を利用する
24:47 解法④ 偏角を利用する
32:15 解法⑤ スマートに攻略
34:45 解法のまとめ
35:39 おわりに

【東大2016】5 つの解法で攻略する複素数の領域図示問題【複素数平面】

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今年の京大理系数学から，数学III の微分・積分関連の問題をピックアップ。
(1) の積分はだいぶ平易で，(2) も難しい要素はありません。合格を狙う受験生であれば，(2) までは確実に正解したいところです。
(3) が少々悩ましいですが，問題文の不等式を眺めることで方針が見えてきます。"9/16" をうまく作ろうとするわけですね。
このように，示したい式の形から天下り的に解法を見出すことも時には有用です。
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【京大2022】"16 分の 9" はどこから出てくるの？【微分・積分 (数学III)】

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今回は理系第 2 問，テーマは複素数平面です。

2 次の整式で定義された関数 f(z) があり，f(0), f(1), f(i) の値が与えられているときの f(2) の値域を求める問題です。
問題の意味を理解するのは至って簡単ですが，a, b, c を α, β, γ で表すための計算がちょっと複雑です。
そのあとの f(2) の計算も含め，複雑な思考は不要ですが，計算ミスとの戦いになります。
日頃たくさん手を動かして，複素数の計算に慣れているかが問われる問題だったといえますね。
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＜目次＞
00:00 今回は 2021 東大理系数学 [2]
00:41 (1) a, b, c と α, β, γ  の関係式
02:06 (1) a, b, c について解く
05:11 (2) f(2) を α, β, γ で表す
06:27 (2) α, β, γ は 1 以上 2 以下
07:14 (2) 0 以上 1 以下になるよう変換
09:09 (2) γ' = 0 で固定し α, β を動かす
13:06 (2) γ' を動かす
15:08 (2) f(2) の範囲（答え）
15:58 (2) のまとめ
17:05 おわりに

【2021最新】東大入試問題 理[2]【複素数平面】

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今回は大正13年の物理科（今でいう物理学科）の問題。
問題文が短く，数式が登場しないのが印象的ですね。
楕円の短軸の一端と楕円上の 1 点を結んで弦をつくるとき，その長さの最大値を考えるというものです。
楕円が円に近いと（離心率が小さいと）短軸の長さが最大値になるのですが，細長い楕円になるにつれ，短軸以外の弦の方が長くなります。
その移り変わりが面白いですね！

こういう短文で数式の設定がないオープンな問題は，解いていて楽しいものです！
受験生の皆さんも，自分で一度考えてみてはいかがでしょうか？
※文系の受験生は二次曲線の勉強をしないと思いますが，楕円の媒介変数表示さえ与えてしまえば，あとは二次関数の問題になるので解くことができます。
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＜目次＞
00:00 大正13年 (1924年) の東大入試
01:49 どの弦が最長か予想する
05:26 楕円の方程式等を準備 
06:58点 Q の位置を媒介変数表示する
11:06 PQ の長さの 2 乗を θ で表現
12:22 sinθ = t の 2 次関数とみる
15:30 -1 ≤ t ≤ 1 での最大値を求める
20:38 問題の答えと補足
24:12 解法のまとめ
25:37 おわりに

【東京帝國大學】楕円の弦の長さ【戦前入試問題】

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三角形の外心と垂心に関する問題。
(1) では，2 つの頂点 B, C と∠BAC が与えられているときに，△ABC の外心の位置を求めます。
円周角の定理より，点 A の位置が定まらずとも外心の位置は 1 つに決まります。
(2) では，△ABC の垂心の軌跡を求めます。
点 A の座標をパラメタで表示するなどして，垂心の座標を計算することになります。
複雑な設定でもなく，解後感のいい問題です。
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＜目次＞
00:00 今回は 2021 京大理系数学 [5]
00:34 (1) 外心は y 軸上にある
03:15 (1) 余弦定理で点 P の y 座標を計算
05:55 (1) 出てきた解の吟味
07:01 (2) 点 A の座標をパラメタ表示
07:54 (2) 垂心の x 座標は点 A と同じ
08:25 (2) もう 1 つの垂線の方程式を求める
10:00 (2) 垂線の交点が垂心→式を連立
10:54 (2) 垂心の軌跡をパラメタ表示から求める
12:25 (2) のまとめ
13:49 おわりに

【2021最新】京大入試問題 理系[5]【図形の性質，軌跡】

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今回は，先日扱った積分の問題をもっと掘り下げていきます。
内容は以下の通りです：
① 前回紹介した解法（ King Property を用いるもの）をもう少しスマートにして解説
② King Property が有効となるのは，被積分関数がどういう性質をみたすときか
③ なるべく整理した公式を用いてこの問題をもう一度計算

King Property は，いわば「 x が小さい方から短冊を足していくのと大きい方から足していくのとでは，積分結果は変わらない」ということを意味しています。
また，積分区間がもとの積分と一緒であるというのがポイントですね。
具体的な問題で King Property を用いてしまうと，逆にその有効性を理解しづらいかもしれないので，② では具体的な関数形を設定せずに一般的な形式で考察してみました。

前の動画に引き続きこれを見ると，King Property を利用した積分計算の図形的な意味をより理解できるかもしれません。
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00:00 昭和10年の東大入試（探求編）
00:46 解法1: King Property を用いた計算
05:15 解法1 のまとめ
06:29 復習: King Property
09:23 どういう関数で威力を発揮するか
16:48 解法2: (☆) を用いた計算
19:02 解法2 のまとめ
20:19 おわりに

【探究編】本当に入試に出た積分の難問【戦前入試問題】

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今回は理系第 5 問。微分を用いて関数の増減を調べるのがテーマです。

今回の f(θ) は見た目が複雑な関数なので，増減を調べるのがいかにも大変そうです。
実際に試験でこれを見た人の中には，心が折れて後回しにしてしまった人もいることでしょう。
ただ，式の形をよく見ると，ある程度スッキリ整理することができます。
特に国公立大学の入試問題では，一見複雑な計算に見えても，なんだかんだ工夫する余地があるケースも多いので，見た目だけで簡単には諦めない様にしたいですね。
今回でいうと，1 + cosθ の形を見つけられるかどうかがポイントでした。
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＜目次＞
00:00 今回は 2021 東大理系数学 [5]
00:47 (1) f(θ) を求めて整理する
03:43 (1) f'(θ) を計算する
04:53 (1) f'(θ) = 0 を α = ... の形に直す
06:22 (1) θ の式をシンプルに変形する
08:54 (1) g(θ) の増減を調べる
11:03 (1) g(θ) の θ → +0, π-0 の極限
13:45 (1) の結論（ 3 つの条件）
14:14 (1) のまとめ
15:27 (2) 何を示す必要があるか
16:16 (2) f'(θ) の書き換え
18:04 (2) f(θ) の増減を調べる
19:49 (2) 最大点は 0 ~ π/2 の間にある
21:21 (2) 補足：関数 g(θ) のグラフ
22:07 第 5 問のまとめ
22:48 おわりに

【2021最新】東大入試問題 理[5]【微分・関数の増減】

今回もご視聴ありがとうございます！気に入ってくれたらぜひチャンネル登録お願いします。

さて，今回は因数定理の応用問題。
超デカい多項式の割り算ですね。
当然ながら割り算を実行するわけにはいかないので，工夫をすることになります。
今回は，割る多項式 x^2   x = 1 という形に着目し，1 の 3 乗根を活用するのがポイントです！
因数定理を理解し切れていない人のための解説も用意しました。数学 II で因数定理を勉強した / これから勉強する人必見です！
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【京大2003】超デカい多項式の割り算 | 大学入試 数学 過去問

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2001年の京大理系数学より，軌跡の問題をピックアップしました。
C: y = x^3 というグラフの点 P における接線を， P を中心に反時計回りに 45º 回転してできた直線を L としたときに， C と L が相異なる 3 点で交わるような点 P の範囲が問われています。
P(p, p^3) として，回転後の直線 L の方程式を p を用いて表すというのがシンプルな発想で，それと y = x^3 を連立し，その x の 3 次方程式が相異なる 3 実解をもつような p の条件を考えれば OK です。
点 P を中心に接線を回転しているので，その 3 次方程式は必ず x = p を解にもつ，ということに注意しましょう。

なおこの問題では，答えを予想して，その必要性と十分性を示すという解法もありです。
どんな問題でも使えるというわけではありませんが，「どうしてその答えを思いついたのか」の説明が全く要らないので，ちゃんと証明できるのであれば強力な方法です。
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【プロフィール】
林 俊介 （はやし しゅんすけ）
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。

2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
2019年 東京大学理学部物理学科 卒

・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
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＜目次＞
00:00 2001年 京大 理系数学 [1]
00:43 問題文の条件のイメージ
06:53 回転後の直線の方程式
14:10 条件の言い換え (3 実解)
17:07 f(x) = 0 に関する 2 つの条件
25:58 答えの図示
27:19 解法のまとめ
29:50 別解: 答えを予想してしまう
36:28 学習者へのアドバイス
37:28 おわりに

【京大2001】3 次関数のグラフと直線が 3 点で交わる条件【方程式・領域】

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京大入試より，「下 2 桁」をテーマにした整数問題。
問題文の条件や証明したいことを数式でどう表現するかがカギです。
(2) のような証明方法は，大学入試というよりは数学オリンピックとかでよく顔を出す印象です。
難関大入試でも時折登場するので，覚えておきましょう！

＜目次＞
00:00 問題紹介
01:00 解説①：(1) 条件と目的を数式化
02:12 解説②：(1) n と 100 は互いに素
03:25 解説③：(1) のまとめ
03:55 解説④：(2) 問題の概要
04:48 解説⑤：(2) 証明の方針
05:18 解説⑥：(2) 背理法で攻略
06:41 解説⑦：(2) 全て異なるのがポイント
07:31 解説⑧：(2) のまとめ
08:14 全体のまとめ
09:01 おわりに
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【京大1999】「下 2 桁」の整数問題｜大学入試 数学 過去問 整数

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2007年の東大入試より，点が動く領域を求める問題をピックアップ。
放物線の一部を 2 点 P, Q が動くときに，線分 PQ を 1 : 2 に内分する点 R が動く領域を図示するのが最終目的です。
前回同様，x 座標を a で固定して，点 (a, b) が D に入るような b の範囲を a を用いて表すという，いわゆる順像法を用います。
なお，今回の動画では (1) と (2) を無理に分けずに，ほぼ同時に求めていきます。

条件式の数が多く複雑ではありますが，「まあこんなもんか」となんとなくグラフを書いて色塗りするのはもちろん答案として NG です。
D 内の任意の点が満たし，D 外の任意の点が満たさない条件を，論理の飛躍なく求めていくのが肝心ですね。
もちろん，ちゃんと求めた答えが妥当かどうかを，見た目で大雑把に判断するのは僕たちの勝手です。
実際，今回の問題の答えでも，点 P や点 Q が放物線の端っこにあるときの点 R の軌跡が，D の境界線になっていますからね。

答案は論理的に。答えのチェック（見直し）は見た目で効率よく。
これが現実的だと思います。
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＜目次＞
00:00 2007年 東大 理系数学 [3]
01:11 セッティング
03:46 (1) 点 (a, b) が満たす条件
05:31 (1) 条件式の言い換え
10:22 (1) ここまでのまとめ
12:54 (1) 「 ① かつ ② 」とは？
18:31 (1) [1] 1/3 ≤ a ≤ 1 のとき
26:41 (1) [2] 0 ≤ a ≤ 1/3 のとき
29:53 まとめと (2) の答え
35:39 (1) の答え
37:34 (1) の答えの注意点
38:41 解法のまとめ
39:14 補足：領域 D の境界
42:35 学習者へのアドバイス

【東大2007】領域問題は，徹底して論理的に攻略！【方程式・領域】

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京大入試より，シンプルな設定の整数問題です。
問題文が短いこともあり，YouTube の定番ネタですね。

「式の値が素数になるような整数を求める」系の問題は大学入試で頻出。
こういう問題では，「実験→予想→証明」の流れを徹底するのが大切です。

＜目次＞
00:00 オープニング
00:17 問題紹介
00:52 解説①：とにかく実験！
02:58 解説②：実験結果の分析と予想
04:45 解説③：予想の証明
10:36 解説④：残された組を調べる
11:34 まとめ：「実験→予想→証明」の流れが重要
13:35 おわりに
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【京大2016】素数の素数乗｜大学入試 数学 過去問 整数問題

9/18(水) 発売！"語り合う京大数学 -奥深き数学の森へ-" (オーム社) の Amazon ページはこちら：
https://amzn.to/3YRJtTM

▶︎ 概要
京都大学の入試問題を題材とし，その背景にある数学を古賀さん & 林で議論しながら深掘りする一冊です！
3 次元ベクトルの応用から始まり，多変数関数の極値を調べたり，直交座標以外の座標で面積や体積を計算したり，微分方程式を立てて解いたり，合同式に関する定理を調べたり，群・環・体について学んだり……。学校教科書の範囲なんて無視して，数学の一部を自由に散策していきます。
全 15 章のオムニバス形式になっており，おおよそどこから読んでも楽しめるようになっています。
なお，これは拙著 “語りかける東大数学 -奥深き理工学への招待-“ (昨年発売) の姉妹書です。

▶︎ 目次
第0章　はじめに
第1章　3 次元ベクトルを使いこなす
第2章　拘束条件下での極値決定
第3章　“流れ” を調べる変換
第4章　座標変換と求積
第5章　グラフの形と大小評価
第6章　オーダー評価
第7章　テイラー展開
第8章　確率と母関数
第9章　微分方程式
第10章　点の運動と面積計算
第11章　無理数の性質
第12章　奥深き合同式の世界
第13章　多項式の世界
第14章　体論
第15章　p 進数の世界

▶︎ このような方におすすめ
・文系 / 理系問わず，数学の難問に関心のある一般の方
・入試問題の伏線回収を楽しみたい大学生
・大学以降での学びに関心のある，理系志望の中高生

▶︎ オーム社の書籍紹介ページ
https://www.ohmsha.co.jp/book/9784274232466/

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▶︎ プロフィール

林 俊介 （はやし しゅんすけ）
オンライン数学指導 "マスゼミ" の塾長
情報経営イノベーション専門職大学 客員講師

2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
2019年 東京大学理学部物理学科 卒

2014年 日本物理オリンピック金賞
2014年 東大実戦模試物理 1 位
東大入試本番では数学で 9 割を獲得

著書：
"100年前の東大入試数学 ディープすぎる難問・奇問100"
"語りかける東大数学 -奥深き理工学への招待-"
"東大数学の発想と検討"
"やさしく頭をつくりかえる高校数学 (I・A)"

X：@884_96
https://x.com/884_96

HOW_TO

【新著発売！】語り合う京大数学 -奥深き数学の森へ-【京大数学を古賀先生と深掘り】

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今回は，最初の段階で分母が因数分解されていない有理関数の積分問題です。
分母は実数係数の 1 次式にまで因数分解することができないので，簡単には積分できません。
そこで，log の微分や arctan の微分を利用して，分母の因数と同じ形を無理やり生み出すことになります。
部分分数分解のパーツを必要数揃えて，係数調整をし，部分分数分解を実行し，各項を積分する。
この流れで，一部の有理関数はなんとか積分することができます。
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2015年 東京大学理科一類 入学
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＜目次＞
00:00 昭和6年 (1931年) の東北帝國大入試
00:27 問題①：積分の発想
01:57 問題①：2 つの積分に分解
02:54 問題①：I1（対数）
03:42 問題①：I2（tan の逆関数）
05:56 問題①：答えと解法のまとめ
08:00 問題②：積分の発想
10:11 問題②：部分分数分解
11:05 問題②：各項の積分
12:04 問題②：答えと解法のまとめ
13:34 有理関数の積分のポイント
14:04 おわりに

【東北帝國大學】分母が因数分解されていない有理関数の積分【戦前入試問題】

ご視聴ありがとうございます！気に入っていただけたらチャンネル登録よろしくお願いします⭐️

2005 年度の京大入試より，整数問題のご紹介です。
右辺の値が 217 ではなく 65 になっているものが文系で出題されており，そちらも動画で解説しています。
今回は割とオーソドックスな方法で解を絞ることにしました。
ほとんど同じ設定なのに，解の個数が文系 ver. と違うのも面白いところですね。
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【京大2005】文系とどう違う？整数の方程式 | 大学入試 数学 過去問

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京大入試より，数列の一般項を求める問題です。
同じ趣旨の問題が文系にも出題されていますが，こちらは極限が登場している点などが違いますね。
数列の和 Sn に関する条件式があるときは，無理やりにでも Sn を消去するのがポイントです！
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【京大2002】数列の一般項を求めよう（理系）| 大学入試 数学 過去問

大学入試問題の解説など，数学関係のいろいろな動画を配信しています。ぜひチャンネル登録お願いします！

今回は整数の問題。
教科書とかにも載っていそうなくらいシンプルですが，実は結構奥が深いんですよね。
整数問題を解くエッセンスが詰まった良問です。ぜひ最後までご覧ください！
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【京大2005】シンプルだけど奥が深い整数問題

最難関国公立大の入試問題を解説中！高校生はぜひチャンネル登録してください⭐️

東大の過去問より，サイコロの出目に関する確率の問題。
京大の過去問解説でも，こういうのを数問扱いましたよね。
・事象の包含関係を意識する
・確率の足し算や掛け算をしてよいのかよく考える
この辺りが大切です。

実際の入試では，確実に正解したいところ。

＜目次＞
00:00 問題紹介
00:26 解説①：(1) 余事象を使えば簡単
01:27 解説②：(2) 素因数 2 の個数で分類
04:19 解説③：(3) 事象の関係を図示
07:09 解説④：(3) 5 でも 4 でも割り切れない確率
08:23 解説⑤：(3) 1 - pn の計算
09:33 解説⑥：(3) log をとり極限を求める
12:15 まとめ：余事象に着目し計算
14:49 おわりに
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【東大2003】確実に正解したいサイコロ問題｜大学入試 数学 過去問 解説

東大・京大などの数学過去問を解説中！受験生や数学力を伸ばしたい高校生は，ぜひチャンネル登録してください〜

京大入試より，場合の数の問題です。
立体の表面を塗り分けるという定番テーマですが，正 n 角柱ではなく非対称な n 角柱なのがポイント。
まずそこを勘違いしないようにしましょう。
(2) が少々面倒ですが，「数え上げの極意」の動画でご紹介したように「漏れなく，重複なく」場合分けしてカウントすることで，正しい答えを出せます。

＜目次＞
00:00 n 角柱の n 2 面を k 2 色でぬる
00:52 注意点：全ての面を区別する
01:24 解説①：(1) P2 側面から考える
03:13 解説②：(1) P3 上面と底面は同色
06:10 (1) のまとめ
07:18 解説③：(2) 上面・底面の色に関する議論
08:15 解説④：(2) 側面の塗り方
12:24 (2) のまとめ
13:29 大問全体の振り返り
13:45 おわりに
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【京大1999】n 角柱を塗り分ける方法｜大学入試 数学 過去問 場合の数

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今回は，大正15年の九州帝國大學工学部の問題。
分母が 4 次の多項式，分子が 2 次の多項式になっている分数関数の積分です。
この分母は実数係数の範囲内で因数分解できるようになっているので，今回は部分分数分解を活用して攻略していきます。
いきなり 3 つに分けてもいいのですが，今回はあえて 2 ステップに分けることで，計算をやや簡略化しました。
最初の分数式が偶数次しか含んでいないので，一旦偶数次の範囲で分解し，そのあともう一度 1 次式が分母に出るように分解しています。

難関大受験生であれば，今回くらいの問題は解けるようにしておきたいですね。
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＜目次＞
00:00 大正15年 (1926年) の九大入試
00:18 x^2 = y と置換してもうまくいかない
03:25 分母が因数分解可 → 部分分数分解
06:51 もう一段階分解し，積分できる形に
08:32 部分分数分解の流れまとめ
09:32 積分の実行
12:05 今回の問題の答えと補足
13:45 おわりに

【九州帝國大學】多項式の分数関数の積分【戦前入試問題】

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今回は，サイコロの出目の「和」に関する確率問題です。
出目の積に関する問題は多いですが，和をテーマにしているのは珍しいですね。
漸化式を立ててその一般項を求めるというオーソドックスな問題。
難関大学受験生は確実に解けるようにしておきましょう！

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【京大1994】サイコロの確率問題 | 大学入試 数学 過去問

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2005年の東大入試より，4 次方程式の解の範囲を問う問題をピックアップ。
4 次の方程式ではありますが，偶数次しか存在しないため，x^2 = y とおき y の 2 次方程式とみることができます。
ちょっと難しいのは，方程式中の定数が s, t の 2 文字あり，かつこれらが独立ではないことです。
s^2 + t^2 = 1 という関係式で結ばれているため，それを考慮して議論をする必要があります。

今回は，
▶︎ s + t = u, st = v とおき，uv 平面で議論する
▶︎ s + t = k とおき，k の範囲を求め，方程式の定数を k だけにする
という 2 つの方法で攻略していきます。

2 つとも他の問題に応用しやすいので，どちらも使えるようにしておきましょう！
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00:00 2005年 東大 文系数学 [3]
00:44 解法１：基本対称式を文字でおく
02:16 解法１：u, v の関係
04:32 解法１：u, v の範囲
09:47 解法１：方程式を u, v で書く
11:39 解法１：uv 平面の直線とみる
14:09 解法１：交わり方の注意点
15:25 解法１：交点に関する議論
18:16 解法１：答えと解法のまとめ
21:51 解法２：s + t の値の範囲
24:29 解法２：方程式を k で書く
27:46 解法２：解の配置問題になる
29:53 解法２：g(k) に関する条件式
33:15 解法２：答えと解法のまとめ
35:13 2 つの解法の比較
36:13 学習者へのアドバイス
37:09 おわりに

【東大2005】解の範囲問題を複数のアプローチで攻略！【方程式・領域】

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京大には一般入試だけでなく「特色入試」というものがあります。
この入試は，数学が特に優秀な受験生を対象としています。
一般入試と異なり，たった 5 名しか合格しない狭き門です。
当然問題も超ハイレベル。日本の大学入試数学の中でもトップレベルに難しいですね。

今回は，2019年度京大特色入試（理学部，数理科学入試）の第 1 問を解説していきます。
a を 2 以上の整数としたときの，「1/a 乗の和」に関する極限の証明問題です。

数学III では，自然数の逆数和が正の無限大に発散するという有名事実を扱います。
(1) ではそれと同じように「1/a 乗の和」を積分で評価していくのがポイントとなります。

(2) では，その「1/a 乗の和」から主要項を除いた残りがなお n → ∞ で正の無限大に発散することを証明します。
主要項を取り除いている以上，(1) とは全然違う評価をすることになります。
発散することを証明したいので緩すぎる評価は NG 。
不等式がちゃんと成り立ち，かつ n → ∞ で発散するようなもので下から評価するにはどうすればよいか。
ココが頭の使いどころですね！
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＜目次＞
00:00 2019年度 京大特色入試 [1]
00:54 (1) 主張のイメージ
05:20 (1) 方針：和を数列で評価する
08:55 (1) 積分と和の大小関係
14:33 (1) 積分の実行と極限計算
18:47 (1) 解法のまとめ
21:46 (2) 方針：はみ出しを下から評価
27:47 (2) 関数の増減と接線，面積評価
31:43 (2) 三角形の面積和は発散するか
36:49 (2) 解法のまとめ
41:29 おわりに

【５人しか受からない超難関入試】京大 2019年度 特色入試 [1]【空間図形】

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今回は，昭和 4 年の東大入試より，曲線の長さに関する問題をご紹介します。
√x + √y = 1 という方程式で表される曲線を描き，その長さを計算するというものです。
現代においても 数学III で曲線の長さを計算する積分の公式を学習しますが，それを利用して長さを求めましょう。

公式に従って計算すると，根号の中に 2 次式が入った格好になります。この積分が少々面倒ですね。
この類の積分は根号を外すのが大切なので，sinh や tan を用いた置換をするのがポイントとなります。
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【プロフィール】
林 俊介 （はやし しゅんすけ）
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。

2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
2019年 東京大学理学部物理学科 卒

・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
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＜目次＞
00:00 昭和4年 (1929年) の東大入試
00:25 曲線の概形を予想する
01:59 曲線の概形を求める
05:54 微分係数の極限について
08:27 曲線の長さの公式
11:09 公式を利用し長さを立式
12:27 積分計算：√x を変数変換
15:15 積分計算：双曲線関数
22:41 結果とその大まかな値
24:38 解法のまとめ
26:29 別解①：媒介変数表示を利用
34:37 別解②：tan の変数変換を利用
38:58 別解③：積分公式を利用
41:28 まとめと学習者へのアドバイス
43:08 おわりに

【東京帝國大學】曲線の長さを計算しよう【戦前入試問題】

東大・京大の入試問題などを解説中！数学を伸ばしたい受験生はぜひチャンネル登録お願いします〜

東大の入試問題より，三角比を題材とした整数問題。
そもそも a b や ab の値を求めるのに困る人もいるかもしれませんね。
動画では，定番の方法をご紹介しました。
(2) では，前回同様数学的帰納法を用います，ただし，その前に与えられた式を変形するのがポイントです。

＜目次＞
00:00 問題紹介
00:33 解説①：(1) π/5 の三角比の求め方
01:58 解説②：(1) a b, ab を具体的に計算
04:13 解説③：(2) 与えられた式を簡単にする
05:13 解説④：(2) 数学的帰納法で証明
08:15 まとめ：(1) 工夫して計算, (2) 帰納法で証明
09:47 おわりに
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【1994東大】整数の問題と帰納法 ふたたび｜大学入試 数学 過去問

今回は，多項式の値が素数になるような整数 n を求める問題です。

「素数になるような○を求めよ」系の問題では，実験をするのがとても有効です。
ある程度試してみると，どういう素因数を常に含むのか発見しやすいからです。
実際の試験でも，いきなり答案を書こうとせず，何個かの n の値で実験するのがよいでしょう。
時間の無駄に見えて，実験した方が方針を立てやすいので結果的に得なんですよね。
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【京大2018】整数問題を実験で攻略しよう

2021年度京大特色入試（理学部数理科学入試）[2] の解説。気に入っていただけたらぜひチャンネル登録お願いします！

マス目に黒玉や白玉を入れていく，場合の数の問題。
(1) は国公立大の一般入試で出題されてもおかしくない問題です。特色入試に挑む人は，これくらいは解けなきゃいけませんね。
(2) の 2 つ目の不等号が勝負どころ。式の形から証明のプロセスを想像できるかどうかがカギとなります。
どのよううに考えれば証明方法が見えてくるか。それも解説しているので，今回の動画は前回の [1] 同様有益だと思います！

＜目次＞
00:00 オープニング
00:30 問題紹介
01:33 解説①：(1) 漸化式を立てる
06:34 解説②：(1) 漸化式から一般項を求める
12:31 解説③：(2) 左側の証明 発想編
15:49 解説④：(2) 左側の証明 記述編
17:58 解説⑤：(2) 右側の証明 発想編
22:18 解説⑥：(2) 右側の証明 ann を an2 で評価
25:41 解説⑦：(2) 右側の証明 これまでの結果の利用
28:56 まとめ：(2) の右側で差がつく
30:45 おわりに
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【難問攻略】京大特色入試にチャレンジ！ 2021 [2]

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放物線に接線をひき，その放物線と x 軸により切り取られる線分の長さ L の最小値を求める問題です。
まず接点の座標を文字でおき，L をその文字の式で表します。
その L を微分して最小値を求めるわけですね。

特別なテクニックも不要で，シンプルな良問といえるでしょう。
それにしても，今年の京大数学は平易な問題が多いですね......
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＜目次＞
00:00 今回は 2021 京大 理系数学 [2]
00:26 放物線と接線の様子を図にする
01:43 点 P の x 座標を p とおく→接線
02:47 点 Q の座標を求める（ y = 0 ）
03:28 L（ L^2 ）を求める
04:58 L が最小となる p を求める
07:21 L の最小値を求める
08:49 第 2 問のまとめ
10:35 おわりに

【2021最新】京大入試問題 理系[2]【微分法】

大学入試問題の解説を中心に，数学・物理の動画を配信しています！ぜひチャンネル登録お願いします。

今回は，京大入試より指数・対数の融合問題です。
一般項を求める (1) は簡単ですが，(2) がちょっと面倒。

「   1 」のズレをどう処理するかが頭の使いどころですね。
無視できるならその方がいい，というのが今回も解説のポイントです。
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【京大2014】数列と指数・対数 | 大学入試 数学 過去問

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空間図形の問題。
ある条件で直方体を切断したときの，断面積の最小値を求める問題です。
断面が平行四辺形であることに着目して各点の座標を文字でおき，断面積をその文字で表します。

平行四辺形の面積の計算方法がちょっとしたポイント。
今回のように，ベクトルの大きさの積や内積を利用するのが一番シンプルだと思います。
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＜目次＞
00:00 今回は 2021 京大 文系数学 [4]
00:38 問題のようすを図示
01:27 P と Q の位置関係
03:14 断面積 S の求め方
05:51 S の最小値を計算
06:52 第 4 問のまとめ

【2021最新】京大入試問題 文系[4]【空間図形】

2021年の国公立大学入試を解説中！来年の受験生や中高生はチャンネル登録よろしくお願いします。
今回から東大入試の解説がスタート！初回は文系の第 1 問です。

3 次関数のグラフと単位円が 6 つの交点をもつような係数 a の値の範囲を求める問題。
グラフ同士の共有点の個数を考えるときは，方程式の解の個数に落とし込むのが常套手段です。
見た目で議論をすると，そもそも厳密とはいえないうえ，単純に間違えてしまう可能性もあるので避けましょう。
特に今回の場合は，条件を満たす a の範囲が非常に狭いので，フリーハンドでお絵描きして考えてもほとんど得るものがないはずです。

3 次方程式の解の個数に言い換えることができたら，あとは極値に関する条件等を立てるだけ。
セオリーに忠実にやれば正解できるという意味で，良問ですね！
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＜目次＞
00:00 今回は 2021 東大文系数学 [1]
00:28 図を書かずに考える
02:41 原点からの距離の 2 乗
03:56 3 次方程式に直す
06:39 3 次関数の増減を調べる
08:19 g(θ) の 3 つの条件式を立てる
10:45 条件を a の範囲に直す
13:21 第 1 問のコメント＆まとめ
16:30 おわりに

【2021最新】東大入試問題 文系[1]【微分法】

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1993年の京大入試より，三角関数の値域に関する問題をピックアップ。
cos2x や cosx が係数つきで足し算されており，これが -6 以上 6 以下の値をとるような (a, b) の範囲を図示する問題です。

三角関数の値域を考えるときに，2 倍角の公式を利用して cosx についての 2 次関数にするというのは定番のテクニックですね。
今回もそれを利用します。
結局，2 次関数の値域が -6 以上 6 以下になればよいわけですが，最大点・最小点がどこか，に応じて場合分けする必要があるというのが面倒なところですね。
最大値の場合分けと最小値の場合分けでは，境目となる値が異なることにも注意が必要です。

とはいえ，結局問題の要は 2 次関数の最大値・最小値ですから，三角関数あたりの話を除けば高校 1 年生でも解けます。
京大入試といえど，基礎的な操作をいかに徹底できるかが大事ということですね。

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＜目次＞
00:00 1993年 京大 文系数学 [1]
00:41 方針：2 倍角で cosx の多項式に
02:12 2 次関数の最大値・最小値問題になる
04:29 2 次関数の平方完成と場合分け
05:18 [1] 最大値：場合分けの基準
06:30 [1] 各場合の最大値の計算
09:14 [1] 最大値：まとめ
10:00 [2] 最小値：場合分けの基準
12:28 [2] 各場合の最小値の計算
15:44 [2] 最小値：まとめ
16:56 条件式のまとめ
17:45 条件式の図示
22:33 答えと解法のまとめ
24:11 よりシンプルな別解
26:24 学習者へのアドバイス
27:43 おわりに

【京大1993】三角関数の値域制限は，定番手法＆場合分けで攻略【不等式・領域】

今回もご視聴ありがとうございます。気に入っていただけたら，ぜひチャンネル登録お願いします〜

京大入試より，立体図形の問題です。
角度の cos の最大値を求めるのですが，そもそも cos をどうやって求めるかがポイントですね！
今回はベクトルを用いました。余弦定理もありです。
計算が少し煩雑ですが，こういうときは「極端な値」「端っこの値」を代入して検算するのが結構便利。
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【京大2015】立体図形 cos の最大値を求めよう | 大学入試 数学 過去問

2021年度京大特色入試（理学部数理科学入試）[1] の解説。気に入っていただけたらぜひチャンネル登録お願いします！

3 つ以上の空間ベクトルを，どの 2 つの内積も等しくなるように配置する問題。
結果自体はイメージしやすいのですが，それをちゃんと答案にするのが難しいですね。
空間ベクトルの復習から 3 次元極座標まで，色々詰まった濃密な 30 分間。ぜひお楽しみください！

いや〜しかし，特色入試はなかなか大変ですね。
筆記の合格者はマジですごいです。

＜目次＞
00:00 オープニング
02:06 問題紹介
04:41 解説①：内積 λ の範囲を絞り，λ = cosα とおく
08:40 解説②：各ベクトルを 3 次元極座標に配置する
15:38 解説③：ベクトル v1, v2, v3 を求める
22:48 解説④：ベクトル v4 を求める
29:56 解説⑤：ベクトル v5 以降はとれない
31:00 解説⑥：結果のまとめと図形的解釈
32:10 本問のポイント
33:45 おわりに
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【難問攻略】京大特色入試にチャレンジ！ 2021 [1]

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前回同様，今回も前の動画で扱った積分問題の探究編です。
この積分は広義積分であるため，まずは収束判定をする必要があります。
前の動画では sinx ≥ 2x/π (0 ≤ x ≤ π/2) という関係を用いて積分を下から評価しました。
今回はその復習に加え，広義積分が絶対収束することの別の判定法とその証明を紹介します。

収束性の議論が済んだら，前の動画でも紹介した対称性や 2 倍角の公式を利用する計算方法を復習したのち，複素積分を利用した計算についても簡単に触れます。
このチャンネルで複素積分が登場するのは初めてですし，そもそも明らかに高校数学の範囲外ではあるのですが，このチャンネルを見ている人には理系大学生も多いですし，意欲ある高校生にとっては面白いと思って紹介した次第です。
受験生は，今すぐ理解できる必要は全くありません。へー，そういう方法もあるんだ，くらいに思ってもらえれば OK です。

今回は全体的にハイレベルな内容が多いですが，高校数学を一通り勉強し終わった人からすると面白いのではないでしょうか。
今後も，帝國大学入試問題解説シリーズは，面白い問題を発見したら不定期でやっていく予定です。
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＜目次＞
00:00 昭和9年 (1934年) の東北大入試
01:54 収束証明① 2x/π ≤ sinx を利用
08:30 絶対収束に関する定理とその証明
12:41 収束証明②-1 l'Hôpital の定理を使う
17:58 収束証明②-2 l'Hôpital の定理を使わない
21:18 計算方法① 対称性・2 倍角を利用
30:42 計算方法② 複素積分を利用
41:52 log(sinx) のグラフ
43:23 今回のまとめ
44:42 おわりに

【東北帝國大學】探究編！本当に入試に出た積分の難問【戦前入試問題】

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今回は，2000年度の京大文系入試より，整数と平面図形の融合問題をピックアップ。
3 辺の長さが 2 以上の整数 p, q を用いて書かれた三角形があり，条件 (イ) (ロ) (ハ) から 3 辺の長さを決定します。

(1) では 3 つの角度の大小関係を決定します。
三角形の辺の長さの大小関係と対角の大きさの大小関係は一致するので，それを使えば一瞬で結論が出ますね。
ただ，その大小関係の一致自体はそこまで自明でもない気がするので，動画ではその証明方法を 2 つご紹介します。

(2) では，まず (1) の結果を用いてどの角度が 60º なのかを決定します。
それが済んだら，早速余弦定理を用いて p, q の条件式を導きます。
p, q についての 3 次の方程式なので，どのように解けばいいか難しいですね。
この動画では，この方程式が pq と p-q の式で書けることに着目し，それらを別の文字でおいて解いています。
整数の方程式は，その次数や形によって最適な解法が変わってくるのが難しいところで，かつ面白いところですね。

結局，(イ) (ロ) (ハ) の 3 条件だけから 3 辺の長さはただ 1 通りに決まります。
出てくる三角形は，「図形と計量」の分野などでよく見るやつですね。最後はスッキリ解決します！
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＜目次＞
00:00 2000年 京大 文系数学 [4]
00:49 (1) 角の大小と辺の大小は一致
02:36 (1) 証明1: 図形的な方法
07:19 (1) 証明2: 数式による証明
15:01 (1) 3 つの角の大小関係
16:54 (1) 解法のまとめ
18:11 (2) どの角が 60º なのか
20:42 (2) 余弦定理を使う
24:29 (2) p, q の方程式をどう解くか
27:19 (2) pq = N, p-q = Δ とおく
29:04 (2)(i) Δ = -1 のとき
37:32 (2)(ii) Δ ≠ -1 のとき
40:51 答えと解法のまとめ
45:02 おわりに

【京大2000】文系の難問！整数と平面図形の融合問題【整数の性質】

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京大の 2006 年度入試より，整数問題です。
2 つの多項式が共に素数となるような自然数 n を求める問題。
難易度は低めで，定番中の定番という感じですね！
今回の動画では，こういう問題の典型的解法をご紹介しています。
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今回は，大正15年の京都帝國大學医学部の問題。
根号が入っているため，根号を外すための式変形が必要となります。
また，この積分は方針が見えてからも罠があり，符号の処理に注意が必要です。
積分が得意な人でもミスをしてしまう可能性が高いですね。
ぜひ一度，自分で問題を解いてから解説をご覧ください！
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＜目次＞
00:00 大正15年 (1926年) の京大入試
00:17 根号をいかにして外すか
03:40 x = 1/cosθ と変換
05:15 符号の処理に注意し変形
08:12 tan の微分公式を利用
09:41 θ の式を x の式に直す
13:41 積分結果と符号の注意点
19:26 おわりに

【京都帝國大學】ミス頻出の不定積分【戦前入試問題】

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前回同様，2022 年の京大文系数学より，微分・積分に関する問題をピックアップ。
放物線の 2 接線が直交している状態を考える問題ですが，これは難関大に限らず大学入試で頻出のテーマですね。

この類の問題では
・接点の座標を文字でおき，定点を通るようにする
・ある点を通る直線の傾きを文字でおき，接線になるような傾きを求める
という 2 つの方針をとることができますが，この動画では双方を解説していきます。
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【プロフィール】
林 俊介 （はやし しゅんすけ）
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。

2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
2019年 東京大学理学部物理学科 卒

・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
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＜目次＞
00:00 2022 京大 文系数学 [3]
00:37 問題文のようすを図示
01:18 解法① 接点の座標を文字でおく
05:05 面積計算その 1 (何も工夫せず計算)
11:10 面積計算その 2 平方完成して積分
16:10 面積計算その 3 より簡略化した方法
20:48 解法② 点 P を通る直線の傾きを考える
25:32 二つの解法のまとめ
26:27 おわりに

【京大2022】放物線と 2 接線で囲まれる図形の面積計算【微分・積分 (数学II)】

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今回は，大正14年の京都帝國大學工学部の入試問題。
多項式を多項式で割ったときの余りに関する問題です。
(x-α)(x-β) で割るので，x = α, β を代入することで余りを求めていきます。
ただし，α と β が等しい場合，それら 2 つの操作は全く同じになってしまうので，余りの係数（ x の係数と定数項）に関する条件式が 1 つしか出てきません。
したがって，別の方法でもう 1 つ条件式を出す必要があります。

α = β のときに場合分けが必要であることに気づき，適切に記述をしていく必要があるという意味で良問だと思います。
問題自体は難しくないので，多項式の割り算や因数定理あたりを学んだ人はぜひチャレンジしてみてください！
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＜目次＞
00:00 大正14年 (1925年) の京大入試
00:21 問題に関する注意点
01:17 余りを px   q とおく
02:16 (i) α ≠ β のとき x = α, β を代入
03:56 (i) 2 つの式から p, q を求める
05:19 (i) 対称式であることの確認
06:26 (i) 答えと解法のまとめ
07:12 (ii) α = β の場合
08:09 (ii) f(x) の式を微分する
11:12 (ii) 微分した式に x = α を代入
12:27 (ii) 答えと解法のまとめ
13:38 補足：(ii) の場合の一般化
17:25 コメント＆おわりに

【京都帝國大學】入試頻出，多項式の割り算【戦前入試問題】

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1994年の東大文系数学 [1] より，領域や最大値に関する問題をピックアップ。
(1) で与えられた不等式をみたす (x, y) の範囲を図示し，(2) ではその領域を用いた最大値問題を考えます。

(1) はシンプルな対数の不等式で，これは確実に正解したいところです。
いわゆる真数条件だけ注意して，各辺を 2 の指数にすれば解決ですね。

(2) では，(1) で求めた領域 D を定義域として，y - sx の最大値 f(s) を求めます。
直線 y - sx = k を考えて，これと D が共有点をもつような k の最大値を考えればよいわけですが，s の値によって k が最大となる状態が変わるのがポイントです。
(1) で D を図示したわけなので，それを利用して場合分けしたり f(s) を求めたりしていきます。
場合分けが必要であることにさえ気づけば，あとはさほど難しくない問題ですね。
(1) は死守，(2) もぜひ正解したい問題でした。
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00:00 1994年 東大 文系数学 [1]
00:44 (1) 真数条件
03:32 (1) 各辺を 2 の指数にする
05:11 (1) 領域 D の図示
12:27 (2) 方針：直線と D が共有点をもつ
13:16 (2) s の値で場合分けが必要
17:42 (2) (i) s ≦ -1/2 のとき
19:06 (2) -1/2 ＜ s ＜ 1 のとき
21:06 (2) f(s) の関数形のまとめと図示
25:06 (2) 答えと解法のまとめ
28:12 (2) 学習者へのアドバイス
29:58 おわりに

【東大1994】場合分けで最大値問題を攻略！【方程式・領域】

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今回は，京大入試より n 進法が登場する整数問題をピックアップしました。
n 進法は，今年のセンター試験にも登場しましたね！
n 進法から 10 進法に直す操作・その逆の操作は，いつでもできるようにしておきましょう。

後半では複雑な方程式の整数解を求めます。
指数関数と多項式が混在していて難しいのですが，両辺の増加率の違いをみることにより，n が十分に大きいと解が存在しないことがわかります。
これがこの問題の最大のポイントですね！
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【京大2016】n 進法＆方程式の整数解

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2007年の京大理系数学より，数列の極限に関する問題です。
互いに異なる正実数 x, y を含む漸化式により定義された数列があり，その極限が有限値に収束するような x, y の範囲を図示します。
文字を含んでいることもあり，一見面倒な形をした漸化式ですが，よく見るとそこまで苦労せずに解くことができます。
まずは一般項を計算してみましょう。
その後，x, y の値によって場合分けし，n → ∞ での極限を求めます。

▶︎ 漸化式から一般項を求める
▶︎ 一般項の形をもとに場合分けする
▶︎ 各々の場合での極限を求める
という具合に，様々な分野の考え方を用いる良問だと思います。
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＜目次＞
00:00 2007年 京大 理系数学 甲[2] 乙[2]
00:43 漸化式を解きたい
02:47 定番手法：y^(n+1) で割る
05:40 数列 {bn} の特性方程式
11:08 場合分けの方針
13:59 場合分け (i)
14:47 場合分け (ii)
15:36 場合分け (iii)
16:14 場合分け (iv)
17:11 場合分け (v)
19:00 答えの図示
20:00 解法のまとめ
21:39 学習者へのアドバイス
22:57 おわりに

【京大2007】数列が有限値に収束する条件は？【数列・極限】

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2021年の東大・京大入試を解説中！
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確率漸化式の問題。
赤玉と白玉が 1 つずつ入っている箱が n 個あって，
・1 番目の箱から玉を 1 つ取り出し，2 番目の箱へ
・2 番目の箱から玉を 1 つ取り出し，3 番目の箱へ
...
・n 番目の箱から玉を 1 つ取り出し，1 番目の箱へ
移動するという，一見すると複雑な設定の問題です。

こういう問題は，
・どの確率を文字でおくか
・どのように漸化式を立てるか
が勝負どころですね。漸化式の計算自体は大したことないので。
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00:00 今回は 2021 京大 文系数学 [3]
00:47 ルールを図で説明
03:40 解説：文字のおき方
05:21 pm の漸化式を立てる
10:14 pm の漸化式を解く
11:32 答えの感覚的なチェック
13:33 確率漸化式は大学入試の重要テーマ
14:08 おわりに

【2021最新】京大入試問題 文系[3]【確率漸化式】

大学入試問題解説シリーズ

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今回は，大正10年（1921年）の東大入試をピックアップ。
ちょうど100年前の入試問題ですね。
log 1.5 の値を小数第三位まで決定する問題です。

Taylor の定理や Taylor 展開については高校数学の範囲外なので，今回はそれらを所与のものとせずに計算をしていきます。
log (1 x) という関数を x の（無限に続く）多項式で表現すると言うのがポイントで，結果として Taylor 展開と似たようなことをやることになりますね。

ただ，log (1 x) だと収束が遅いので，後半でちょっと工夫をしています。
同じ値を求めようとしているのに，計算に用いる無限級数を変えるだけで収束スピードが大きく変わるのは非常に興味深いですね！
Taylor の定理については，別の動画またはシリーズとしてちゃんと扱う予定です。
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＜目次＞
00:00 大正10年 (1921年) の東大入試
00:17 注意点と方針
03:49 log (1 x) を積分で表現し分解
09:43 展開形の予想とその簡単な証明
15:38 展開式を用いた近似 (n=4)
22:20 n をどれくらい大きくすべきか
25:37 展開式を用いた近似 (n=8)
28:40 解法のまとめ
31:14 n = 8 は計算がかなり大変
32:10 収束を速めるにはどうするか
35:56 log((1 x)/(1-x)) の展開形の予想
40:52 n をどれくらい大きくすべきか
44:41 展開式を用いた近似 (n=2)
46:25 改良版の解法のまとめ
48:27 おわりに

【東京帝國大學】物理学科の難問！log1.5 の近似値は？【戦前入試問題】

シリーズ

大学入試問題解説シリーズ #118

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