https://twitter.com/imhkkry #正規分布#変換#標準正規分布
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前回【標準正規分布】の確率密度関数が登場しました。
ここを元にして、正規分布に従う確率変数を１次式で変換してみます。
指数が強い理由　   • 【17-2】指数の強さを体感しよう！  
E(aX+b)などの計算法と、変換前後で確率が不変であること
   • 【20-6】連続型確率変数を「変換」すると…？  

MATH

【20-13】「正規分布」に従う確率変数を１次式で変換

https://twitter.com/imhkkry #数学#共通テスト#確率分布#統計#独立
◆◆前の動画◆◆   • 【20-2】「和の期待値」＝「期待値の和」を証明する際の【基本姿勢】は？  
確率変数X，Yが【独立】とは、どういう定義でしょう？
このときに成り立つ性質を確認しておきましょう。
　　V(X)＝E(X²)－{E(X)}²
　　E(aX+b)＝aE(X)+b
については、   • 【20-1】確率変数の期待値・分散・標準偏差とその性質を確認しよう！  
　　E(X＋Y)＝E(X)+E(Y)
については、   • 【20-2】「和の期待値」＝「期待値の和」を証明する際の【基本姿勢】は？  
を確認しましょう！

【20-3】確率変数が独立とは？そのとき、何が言える？

https://twitter.com/imhkkry #数学#共通テスト#確率#統計#分散#期待
「数学B」【確率・統計】をまとめます。
私がやるのだから、ちゃんと深めますよ！

【20-1】確率変数の期待値・分散・標準偏差とその性質を確認しよう！

https://twitter.com/imhkkry #確率分布#連続型#期待値#分散
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◆◆前の動画◆◆   • 【20-4】「二項分布」の期待値と分散を２通りで算出する！  
書物には、
　「連続型確率変数の期待値は■■と定義する」
などとありますが、この定義を自然だと感じられます？
今回は「数学Ⅲ」を用いて、この説明から始めます。
この単元は、雰囲気を優先すると「ノリ」になるのは仕方ない…。
【区分求積法】については
　   • 【19-5】「区分求積法」の式を丸暗記するの？そもそも、この式はどうして正しい？  
を確認しましょう。

【20-5】連続型確率変数の「期待値」「分散」の定義式に疑問はない？

https://twitter.com/imhkkry #確率分布#正規分布#再生性
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◆◆前の動画◆◆   • 【20-14】「畳み込み」をしっくりさせる！  
X₁とX₂が独立で、いずれも正規分布に従うとき、
　　X₁＋X₂
も正規分布に従います(正規分布の再生性)。
これを示すと、教科書にある「～であることが知られている」の１つ
　　X₁，X₂‥‥が独立でN(m，σ)に従うとき、
　　これらの平均はN(m，σ²/n )に従う
を証明できます！
ガウス積分　   • 【20-11】「ガウス積分」を「数Ⅲ」までの知識で計算する！　3:43訂正...  

【20-15】正規分布の「再生性」とは？

https://twitter.com/imhkkry #数学#共通テスト#確率分布#統計#和の期待値
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◆◆前の動画◆◆   • 【20-1】確率変数の期待値・分散・標準偏差とその性質を確認しよう！  
　E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)
を証明する際、Σ計算における【基本姿勢】が出てきます。
「ほぐす」に聞き覚えがない人は
　   • 【13-2】「Σ計算」における「基本姿勢」とは？  
を確認しましょう！

【20-2】「和の期待値」＝「期待値の和」を証明する際の【基本姿勢】は？

https://twitter.com/imhkkry #確率分布#統計#連続型確率変数#独立
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◆◆前の動画◆◆   • 【20-7】連続型確率変数でもE(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)なの？  
結果から言うと、離散型確率変数と同様の式が成り立ちます。
その証明では、今まで何度もやってきた
　　分布曲線を細長い長方形たちで近似する
が出てきます。
難しい題材でもこの操作が登場するので、慣れておきましょう。
X,Yの表については　   • 【20-5】連続型確率変数の「期待値」「分散」の定義式に疑問点はない？   
離散型の場合は　   • 【20-3】確率変数が独立とは？そのとき、何が言える？  
で詳しく説明しています。
連続型確率変数X,Yに対しても
　V(X)＝E((X－m)²)　   • 【20-5】連続型確率変数の「期待値」「分散」の定義式に疑問点はない？  
　E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)　   • 【20-7】連続型確率変数でもE(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)なの？  
　E(aX＋b)＝aE(X)＋b　   • 【20-6】連続型確率変数を「変換」すると…？  
が成り立つのでしたね。

【20-8】連続型確率変数が独立のとき、何が言える？

https://twitter.com/imhkkry #オイラーの公式#テイラー展開
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◆◆前の動画◆◆   • 【20-15】正規分布の「再生性」とは？  
次回、【特性関数】が登場します。
その際、【オイラーの公式】が必要になってくるので、確認します。
一部、厳密ではないところがありますが、目をつぶります…。
テイラー展開　   • 【18-13】この解釈なら「テイラー展開」を導出できそうね？  
無限級数で和を入れ替えてはダメな例
　   • 【17-6】これは衝撃的だぁ！～無限の神秘～  

【20-16】「オイラーの公式」について確認する！

https://twitter.com/imhkkry #確率分布#中心極限定理#証明
◆◆前の動画◆◆   • 【20-19】「確率密度関数」と「特性関数」が１対１に対応する！  
漸く【中心極限定理】を証明できます。
今まで扱った内容が、いろいろと関連してきますね！
さあ、ここまで到達できる人はどれだけいるでしょうか？
「確率変数」と「特性関数」が 1 : 1 に対応しても、
　　これらの極限も 1 : 1 に対応するのか？
と思う人は、いないですよね…。
テイラー展開　   • 【18-13】この解釈なら「テイラー展開」を導出できそうね？  
XがN(0,1)に従うときのXの特性関数　   • 【20-18】X がN(0,1)に従うとき、X の特性関数は？  
確率密度関数と特性関数が 1 : 1 対応　   • 【20-19】「確率密度関数」と「特性関数」が１対１に対応する！  

【20-20】「中心極限定理」を証明する！

https://twitter.com/imhkkry #確率分布#特性関数#確率密度関数#1対1
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◆◆前の動画◆◆   • 【20-18】X がN(0,1)に従うとき、X の特性関数は？  
「確率密度関数」と「特性関数」が 1 対 1 に対応することを示します。
今まで何度もやってきた、【離散化】がポイントですね。
【中心極限定理(ラスボス)】討伐まで、あと 1回！
　p(k)とφ▵(t)が 1 対 1 に対応　   • 【20-17】離散型確率変数の「特性関数」を考える。  

【20-19】「確率密度関数」と「特性関数」が１対１に対応する！

https://twitter.com/imhkkry #確率分布#統計
◆◆次の動画◆◆   • 【20-1】確率変数の期待値・分散・標準偏差とその性質を確認しよう！  
【20-1】から【20-20】まで、かなり難しい内容を扱います。
そこで、全体の流れを説明しておきます。
【ラスボス】までたどり着きたければ、画面を眺めるだけでなく、
　ノートを取る
ことをお勧めします。

【20-0】この「再生リスト」では何をするか、ざっと説明します。

https://twitter.com/imhkkry #確率分布#連続型確率変数#変換
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◆◆前の動画◆◆   • 【20-5】連続型確率変数の「期待値」「分散」の定義式に疑問はない？  
連続型確率変数 X を
　　aX+b　(a≠0)
と変換すると、E(aX+b), V(aX+b）はどうなるでしょうか？
実は、離散型と同じ結果が得られますが、そのプロセスが重要です。
　【分布曲線を細長い長方形たちで近似する】
という操作は、今後、何度も出てきます。
慣れておきましょう！
連続型でも
　　V(X)＝E((X－m)^2)
としてよい理由は　   • 【20-5】連続型確率変数の「期待値」「分散」の定義式に疑問はない？  
標準化変換については　   • 【4-1】分散・標準偏差・変量の変換・共分散・相関係数について、理解を深めよう！  
を確認しましょう。

【20-6】連続型確率変数を「変換」すると…？

https://twitter.com/imhkkry #正規分布#二項分布#ド･モアブル#ラプラス
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◆◆前の動画◆◆   • 【20-11】「ガウス積分」を「数Ⅲ」までの知識で証明する！  
教科書では、
　　ゴツい確率密度関数
とともに【正規分布】が唐突に登場します。
歴史によると、正規分布は
　　二項分布の極限
として発見されたそうです。
変換前後で確率は不変　   • 【20-6】連続型確率変数を「変換」すると…？  
ガウス積分　   • 【20-11】「ガウス積分」を「数Ⅲ」までの知識で証明する！  

【20-12】二項分布で「ｎ→∞」とすると「正規分布」になる！～ド･モアブル-ラプラスの定理～

https://twitter.com/imhkkry #確率分布#チェビシェフの不等式#二項分布
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◆◆前の動画◆◆   • 【20-9】「チェビシェフの不等式」から「大数の法則」まで を証明する！  
まず、離散型の【チェビシェフの不等式】を導きます。
流れは、   • 【20-9】「チェビシェフの不等式」から「大数の法則」まで を証明する！   と同じです。
これと二項分布を絡めると、素晴らしいことを示せるね！
【ε-N論法】   • 【17-1】ε-N論法で論理トレーニング  
を参照すると、より理解が深まることでしょう！

【20-10】「チェビシェフの不等式」と「二項分布」を絡める！

https://twitter.com/imhkkry #確率分布#統計#二項分布
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【二項分布】の「期待値」と「分散」を２通りで求めてみます。
１つは、教科書でもやっている方法。
もう１つは、やや大変ですが、いろいろなことが関連してきて、
きっと世界が開けることでしょう！
「母関数」を用いる方法もありますが、それはまぁいいかな…。
似た方法が後で出て来るわけでもないので。
【大統領】については     • 【6-3】nCrの公式に｢大統領｣？  
【差分】については     • 【13-3】Σ 計算の「奥義」とは？「Σ 公式」をサクッと作れる！  
で確認しましょう。

【20-4】「二項分布」の期待値と分散を２通りで算出する！

https://twitter.com/imhkkry #確率分布#特性関数#標準正規分布
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◆◆前の動画◆◆   • 【20-17】離散型確率変数の「特性関数」を考える。  
X がN(0,1)に従うときの、X の特性関数を求めます。
大学で数学を専門にしている人からすると
　　「議論の甘い部分」
もありますが、
「複素積分」を回避したので、
　　ほぼ高校数学の範囲
で理解できるようにしました。
オイラーの公式　   • 【20-16】「オイラーの公式」について確認する！  
ド・モアブル-ラプラスの定理　   • 【20-12】二項分布で「ｎ→∞」とすると「正規分布」になる！～ド･モアブ...  

【20-18】X がN(0,1)に従うとき、X の特性関数は？

https://twitter.com/imhkkry #確率分布#畳み込み#確率密度関数
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X₁とX₂が独立で、それぞれ
　　N(m₁，σ₁²)，N(m₂，σ₂²)
に従うとき、X₁＋X₂はどんな分布に従うでしょうか？
それを求める際、【畳み込み】という手法を用います。
今回は、このイメージを説明しましょう！

【20-14】「畳み込み」をしっくりさせる！

https://twitter.com/imhkkry #確率分布#チェビシェフの不等式#大数の法則
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まず「連続型」の【チェビシェフの不等式】を示します。
割とゆるい評価から得られますが、何とここから
　　【大数の法則】
を導けます！
【ε-N論法】   • 【17-1】ε-N論法で論理トレーニング  
を参照すると、より理解が深まることでしょう！

【20-9】「チェビシェフの不等式」から「大数の法則」まで を証明する！

https://twitter.com/imhkkry #確率分布#特性関数#中心極限定理
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【中心極限定理】を証明するために【特性関数】を導入します。
まず、「離散型」から。
　特性関数とp(x)が１対１に対応する
というのは、スゴいね！

【20-20】「中心極限定理」を証明する！

シリーズ

20.「確率・統計」の基礎（←かなり難しい！） #19

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