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【ベクトルの内積】という概念がなぜあるのでしょうね？
それに答えるためには、
　　【ベクトルの内積】の性質
を確認する必要があります。
一見すると当たり前と思える式の意味をくみ取ってみましょう！

MATH

【14-5】ベクトルの内積の性質をノリで押さえてない？

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ベクトルで【コーシー・シュワルツの不等式】を導き、
さらに、使い方まで確認しておきます。
不等号が「大小関係を表す」か「範囲を表す」かについては、
　　https://youtu.be/LHL7-G9nKB4
を確認してください。
【－1≦(相関係数)≦1】について言及した
　　https://youtu.be/yJ4htRCLoos
では、変数が 2n 個のコーシー・シュワルツの不等式を証明しています。
見ごたえがある内容です！

【14-13】ベクトルで「コーシー・シュワルツの不等式」を導出！

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【ベクトルの内積】を定義すると、素晴らしいことが言えますね。
なんと、ここにも
　　【法律】https://youtu.be/ya3roePiF5k
が関わっていました。
こういう「共通点」が見つかると楽しいですね。
ところで、高校の教科書からは、この流れは伝わりづらいです。
その理由は、内積を定義してもその性質を確認しないまま
　　ベクトルの成分表示
を導入するからです。
ベクトルを成分表示してしまえば、内積の性質を簡単に証明できますが、
生徒からすると、訳分からない世界を引きずり回されているだけで…。

【14-6】内積の分配法則

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次の動画で、面白い見方を紹介したいので、
そのための準備をします。
かつて、内積を図形的に解釈しました。
　　https://youtu.be/AQ_inxeQ1BQ
その延長です。
さあ、いくつ見つかるでしょうか？
　２個以下　‥‥初心者
　３～４個　‥‥中級者
　５個　　　‥‥上級者
　６個以上　‥‥ペテン師(笑)
の称号を与えましょう！
【方べきの定理】は、咄嗟に使えないと意味がありません。
　　https://youtu.be/BWvRn5SPMgE
で確認してください。

【14-15】クイズです。いくつ見つかる？

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「ベクトル」をしっかり使えるようになっていれば、
自力で「点と平面の距離公式」を導けるハズです。
平面 α：ax+by+cz+d=0 がベクトル(a,b,c)に垂直であることは、
　　https://youtu.be/sHghtQeLSFw
と同様にやればOKです。
【正射影ベクトル】や、それを用いた証明は
　　https://youtu.be/wuXxjRGCvYg
にあります。
上を目指すならば【正射影ベクトル】を使えるようにしましょう！

【14-17修正版】点と平面の距離公式

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◆◆次の動画◆◆https://youtu.be/wowwDR_z8eg
【ベクトル】という、まったく新しい概念に
　　　加法・減法・実数倍
を導入します。
式だけ見ると実数と同じノリだけど、
ちゃんと式の意味を嚙みしめましょう。
そうしないと、【ベクトルの内積】で痛い目にあうよ！

【14-1】ベクトルに演算を導入！地味だけど、重要！

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座標空間内で、
　１次独立な２つのベクトル
に垂直なベクトルを求めてみましょう。
　【外積(ベクトル積)】
の知識を用いるまでもなく、割と簡単に作れますよ！
ちゃんと自分の手で導いているという感覚があるでしょ？

【14-18】座標空間で「２つの１次独立なベクトルに垂直なベクトル」の作り方

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◆◆前の動画◆◆https://youtu.be/BFyjFdCYpic
空間ベクトルでも、内積を分配できるイメージを伝えます。
冒頭で述べている通り、図形的な見方もできるようにしておきましょう。
これは、中々に高尚でしょ？
三垂線の定理は　https://youtu.be/dofwYK_7Q9g
内積の図形的解釈は　https://youtu.be/AQ_inxeQ1BQ
でとりあげています。

【14-16】★発展★空間ベクトルでも、内積を分配！そのイメージが見える？

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『図形と式』ではノリで紹介した【内分・外分の公式】
　　https://youtu.be/QCV49mtn79k
をきっちり示します。
重心が中線を 2：1 に内分することについては
　　https://youtu.be/XRjvh6V6360
を参照してください。

【14-3】「内分・外分」の公式が再登場！

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◆◆次の動画◆◆https://youtu.be/A-pFU0SmImk
◆◆前の動画◆◆https://youtu.be/zcIOFuFlnis
１回経験しておくと、これはもう忘れませんね。
「三角関数」の【合成】については、
　　https://youtu.be/9JU2g5zrgDE
も確認してください。
「＝k」とおく解法の【本質】は、
　　https://youtu.be/pND-A_8GL8Q
で述べています。
内積の【図形的解釈】については、
　　https://youtu.be/AQ_inxeQ1BQ
にあります。

【14-12★修正版★】「内積」と見ると世界が変わる！前回の動画をコメントごと消すのは忍びないので、残してあります。

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成分表示されたベクトルの内積は、簡単に計算できます。
その証明を見せましょう。
ここを足掛かりに、次回以降
【図形と式】で出てきた公式たち
を片っ端から証明していきます！

【14-7】成分表示されたベクトルの内積

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やっていることは、「平面」から次元を１つ上げるだけです。
　　「２つのベクトルで平面を張る」
というニュアンスを持っておきましょう。

【14-14】「１次独立」と「共面条件」の確認！

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「成分表示されたベクトルの内積」を簡単に計算できるので、
xy平面において【垂直】を容易に処理できます。
すると【図形と式】では暗記に近かった公式たちが、
どれも「当たり前」になってくれます！
「邪魔ものを消す」について聞き覚えなければ、
　　https://youtu.be/o6I3w9aFdxU
を参照してください。

【14-8】ベクトルで「図形と式」の公式を鮮やかに導く！

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前回は【図形と式】の公式をいくつも導きましたが、
【点と直線の距離公式】もベクトルで証明しましょう。
　　「こいつ何もの？」
を意識すると、迷うことなくゴールにたどり着けます！
「直線の法線ベクトル」について分からない場合は、
　　https://youtu.be/oOiqcdm_-3k
を参照してください。

【14-9】ベクトルで「点と直線の距離公式公式」を導く！その１

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ベクトルを使いこなすために、
「１次独立」についてもしっかり述べておきます。
【一意性の証明】は「整式の除法」でも紹介しました。
　　https://youtu.be/QUBDUTduHt8
似たような筋が出てくると、嬉しいでしょ？

【14-2】ベクトルが 【1 次独立】だと網目を張れるので…！

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【正射影ベクトル】という見方をものにすると、
「垂直」の処理を楽にできることがあります。
その一例として【点と直線の距離公式】を取り上げます。
ここまでシンプルにできるのは、スゴいね！

【14-10】「正射影ベクトル」と「点と直線の距離公式」

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ベクトルの【共線条件】をちゃんと理解している人は少数です。
参考書の中にも、これを正しく書けていないものが多くあります。
ここの理解が浅いと、難しい問題には太刀打ちできません。
もっと、ベクトルという道具になじみましょう！

【14-4】「3点が同一直線上」をベクトルと日本語で表現せよ！

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ベクトルを用いて、三角関数の【加法定理】を２通りに証明します。
２つ目の証明は難しく見えますが、【回転移動】にもつながります。
ベクトルって、便利な道具だと思えてきたでしょ？
cos(π/2 + β)＝－sin β を 3 秒で導くことについては、
　　https://youtu.be/1Xj90skM7E4
で述べています。

14.ベクトル

【14-1】ベクトルに演算を導入！地味だけど、重要！

【14-2】ベクトルが【1 次独立】だと網目を張れるので…！

【14-3】「内分・外分」の公式が再登場！

【14-4】「3点が同一直線上」をベクトルと日本語で表現せよ！

【14-5】ベクトルの内積の性質をノリで押さえてない？

【14-6】内積の分配法則

【14-7】成分表示されたベクトルの内積

【14-8】ベクトルで「図形と式」の公式を鮮やかに導く！

【14-9】ベクトルで「点と直線の距離公式公式」を導く！その１

【14-10】「正射影ベクトル」と「点と直線の距離公式」

【14-11】ベクトルで加法定理を 2 通りに証明し「回転移動」にも応用！

【14-12★修正版★】「内積」と見ると世界が変わる！前回の動画をコメントごと消すのは忍びないので、残してあります。

【14-13】ベクトルで「コーシー・シュワルツの不等式」を導出！

【14-14】「１次独立」と「共面条件」の確認！

【14-15】クイズです。いくつ見つかる？

【14-16】★発展★空間ベクトルでも、内積を分配！そのイメージが見える？

【14-17修正版】点と平面の距離公式

【14-18】座標空間で「２つの１次独立なベクトルに垂直なベクトル」の作り方

14.ベクトル

【14-1】ベクトルに演算を導入！地味だけど、重要！

【14-2】ベクトルが 【1 次独立】だと網目を張れるので…！

【14-3】「内分・外分」の公式が再登場！

【14-4】「3点が同一直線上」をベクトルと日本語で表現せよ！

【14-5】ベクトルの内積の性質をノリで押さえてない？

【14-6】内積の分配法則

【14-7】成分表示されたベクトルの内積

【14-8】ベクトルで「図形と式」の公式を鮮やかに導く！

【14-9】ベクトルで「点と直線の距離公式公式」を導く！その１

【14-10】「正射影ベクトル」と「点と直線の距離公式」

【14-11】ベクトルで加法定理を 2 通りに証明し「回転移動」にも応用！

【14-12★修正版★】「内積」と見ると世界が変わる！前回の動画をコメントごと消すのは忍びないので、残してあります。

【14-13】ベクトルで「コーシー・シュワルツの不等式」を導出！

【14-14】「１次独立」と「共面条件」の確認！

【14-15】クイズです。いくつ見つかる？

【14-16】★発展★空間ベクトルでも、内積を分配！そのイメージが見える？

【14-17修正版】点と平面の距離公式

【14-18】座標空間で「２つの１次独立なベクトルに垂直なベクトル」の作り方

【14-2】ベクトルが【1 次独立】だと網目を張れるので…！