Two-way-countingが熱い。場合の数とパスカルの三角形の知られざる関係。

問 自然数n，r(n≧r)について，次を示せ.
nCr=_{n−1}C_{r−1}+_{n−1}C_r
＜2つの証明＞

パスカルの三角形が有名ですね．パスカルの三角形における
「各数はすぐ上の2数の和である」
という法則を一般的に表すと問題の等式になります．

はやくち解説とは，かったるい説明に嫌気がさしたときに見る動画。早口×早送りで解説しました。雰囲気を掴んでもらえたらいいと思っています。

MATH

【2分動画】パスカルの法則の証明 数学II 二項係数

問 自然数n，r(n≧r) について，次を示せ．r·_nC_r =n·_{n−1}C_{r−1}
＜2 つの証明＞

二項定理シリーズも第5段になりました．
今回の等式は「周辺の」二項係数を求めるのに使える式です．

シリーズの初めから見る↓
https://youtu.be/MNugMQZ4PIE

はやくち解説とは，かったるい説明に嫌気がさしたときに見る動画。早口×早送りで解説しました。雰囲気を掴んでもらえたらいいと思っています。

【2分動画】二項係数の公式r·_nC_r =n·_{n−1}C_{r−1}の証明 数学II 二項係数

問 異なるn個からr個とる組合せの総数nCrが
nCr=n!/{(n − r)!r!}
で与えられることを示せ. 
＜2 つの証明＞

シリーズ「二項係数の等式証明〜Two-Way Counting入門〜」を始めます。
このシリーズは細々と続けたいと思います。

第1段は今シリーズの主人公である二項係数nCrのアイデンティティともいえる階乗を用いた表現についての証明です。
解法1が教科書の証明です．
解法2は一通り場合の数を学習した人なら自然に感じると思います．

はやくち解説とは，かったるい説明に嫌気がさしたときに見る動画。早口×早送りで解説しました。雰囲気を掴んでもらえたらいいと思っています。

【4分動画】二項係数を階乗で表す式の証明 数学II 二項係数

問 自然数n，p，q(n≧p, n≧q) について，次を示せ．
_nC_q·_{n−q}C_p=_nC_p·_{n−p}C_q
＜2 つの証明＞

これはTwo-Way Countingの基本的な練習問題として最適な問題の一つですね〜

はやくち解説とは，かったるい説明に嫌気がさしたときに見る動画。早口×早送りで解説しました。雰囲気を掴んでもらえたらいいと思っています。

【2分動画】二項係数の性質nCq·{n−q}Cp=nCp·{n−p}Cqの証明 数学II 二項係数

問 自然数n，r(n≧r)について，次を示せ.
nCr = nCn−r 
＜2 つの証明＞

今回はシリーズ「二項係数の等式証明〜Two-Way Counting入門」
の第2段．
初めてのTwo-Way Countingです．
Two-Way Countingは，直訳で「2つの方法で数えること」
同じものを別の方法で数えることによる証明方法です．

シリーズの最初から↓
二項係数の等式の2つの証明 https://youtu.be/MNugMQZ4PIE

はやくち解説とは，かったるい説明に嫌気がさしたときに見る動画。早口×早送りで解説しました。雰囲気を掴んでもらえたらいいと思っています。

【1分動画】二項係数の対称性の2つの証明 数学II 二項係数

問 自然数n，r(n≧r)について， 次を示せ.
nCr =_{n−1}C_{r−1}+_{n−2}C_{r−1}+··· · · · +_{r−1}C_{r−1}
＜2 つの証明＞

左の添字が変化する級数はよくありますが，今回は右側です．どうしましょう？

参考：https://ja.wikipedia.org/wiki/パスカルの三角形


はやくち解説とは，かったるい説明に嫌気がさしたときに見る動画。早口×早送りで解説しました。雰囲気を掴んでもらえたらいいと思っています。

二項係数 6題

【4分動画】二項係数を階乗で表す式の証明数学II 二項係数

【1分動画】二項係数の対称性の2つの証明数学II 二項係数

【2分動画】パスカルの法則の証明数学II 二項係数

【4分動画】パスカルの法則の応用数学II 二項定理

【2分動画】二項係数の公式r·_nC_r =n·_{n−1}C_{r−1}の証明数学II 二項係数

【2分動画】二項係数の性質nCq·{n−q}Cp=nCp·{n−p}Cqの証明数学II 二項係数