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２の常用対数を「0.3010としてよい」とする問題をよく目にしますが、
実はこれは近似値で、２の常用対数は無理数です。
前半はその証明をします。
後半は、ちょっと【論理のお話】。

MATH

【11-4】0.3010でよい？

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【n 乗根】の計算をノリでやっている人が少なくないです。
そもそも【定義】を知っていますか？
書物を見ると、堅苦しい文言が並んでいますが、
何故そのように定義したか考えると、その合理性に気づけることでしょう。

【11-1】n 乗根とは？やっぱり、ビジュアル化だぁ～！

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y＝log₂ｘ のグラフを、サクッと描けますか？
意味を考えると、y＝log₂2x のグラフとの関連(２通り)も見えます。
「戻って来いよ！」に聞き覚えない人は
　   • 【2-1】ノリでグラフを平行移動させてないかい？  
　   • 【2-2】本質を押さえると、いろいろ応用できるね！  
を参照しましょう。
「数式から意味を捉える」って、面白いね。

【11-4】対数関数のグラフ

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　　　　　　　　↑y＝2^x のグラフが右上がりの理由
私が授業で最も強調する
　「数式の意味を考える！」
を徹底すると、対数の公式はここまで身近になります。
この姿勢は、難問を解く際に不可欠です！

【11-3】「対数の公式」の証明はこんなに明快！

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指数を「自然数」→「整数」→「有理数」と拡張していきます。
【法律】については
　   • 【1-1】(－1)×(－1)＝1 の理由なんて、カッコ悪くて人に聞けないね…。  
【自然数から有理数まで拡張】の話は
　   • 【1-5】「有理数」は「有限小数」か「循環小数」のいずれかなの？  
【n乗根】の定義については
　   • 【11-1】n 乗根とは？やっぱり、ビジュアル化だぁ～！  
指数関数のグラフが【下に凸】であることについては
　   • 【18-10】f´´(x)＞0 ⇒ 曲線 y＝f(x) は下に凸 の理由は？  
を参照してください。

「有理数から実数への拡張」について触れるのを忘れていました。
x がすべての有理数を動くとき、y＝2^x のグラフは つながっているように見えます。
なので、その間を埋めるように「無理数乗」を考えましょう(←ノリです…)。

11.指数関数･対数関数

【11-1】n 乗根とは？やっぱり、ビジュアル化だぁ～！

【11-2】指数の拡張って、実は高尚だね？

【11-3】「対数の公式」の証明はこんなに明快！

【11-4】0.3010でよい？

【11-4】対数関数のグラフ