加法定理の証明マスターに、俺はなる！

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高校数学 II 「三角関数」で学習する三角関数の加法定理。
今回はこれの導出を説明します。

1999 年度の東大の入試でも出題されて話題になりましたね。
今回は，単位円を用いて導出していきます。
ほかにもいろいろな方法があるので，ぜひ考えてみてください！

※ただ，僕としては 1999 年度の東大入試での出題を「伝説の入試問題」として面白く扱うつもりはありません。
仮に東大で出題されなかったとしても，加法定理の導出「くらい」は自分でできなきゃいけません。
高校数学で登場する公式は，各自で導出できるようにしておきましょう！（※極限の厳密な証明などは除く）

00:00 今回のテーマは「加法定理の証明」
00:43 証明のセッティング 1
03:09 証明のセッティング 2
05:54 二つの長さは等しいので...
07:07 [3] 以外の公式の証明
10:31 まとめ
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【プロフィール】
林 俊介 （はやし しゅんすけ）
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。

2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
2019年 東京大学理学部物理学科 卒

・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
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MATH

【東大の有名問題】sin, cos の三角関数の加法定理の証明

“ガチでノビる受験数学”のチャンネルは、高校数学を学ぶチャンネルです。
標準～難関大入試レベルまでを扱っていきます。
①+１つのテーマに関して
②+テキストに沿って（HP：Gold+Standardというテキストを販売中）
③+その他
の内容について配信していきます。

理３はこうやる！加法定理の導出

今回は，高 2 の数学で登場する tan（正接）の加法定理について，
・定理が成り立つことの証明
・加法定理を用いて解ける例題の紹介
を行います。

sin, cos の加法定理が理解できていれば，tan の加法定理はすぐに証明できます。
tan の加法定理は一見マイナーですが，実は大学入試で頻繁に登場するので大切です。
例えば tan 1º が有理数かどうか判定する京都大学の有名な入試問題でも使用しますよね。
というわけで，この動画で一通りマスターしちゃいましょう！
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【公式証明＆例題】tan の加法定理

## 概要

任意の角 $\alpha, \beta$ に対して以下の公式が成り立つことが加法定理として知られている。

$$
\begin{align} 
\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\\\\
\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta\\\\
\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\\\\
\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta
\end{align} 
$$

上の式を用いると、$\tan$ の加法定理も求めることができ、

$$
\begin{align} 
\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}\\\\
\tan(\alpha-\beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}
\end{align} 
$$

となる。覚え方については、コスモスが咲く可愛いらしいものから、ど下ネタまで色々あるので、ググって自分に合うものを探そう。

※ $\tan$ の加法定理の導出方法（これは覚えてなくても導ければOK）

$$
\begin{align} 
\tan(\alpha+\beta) &= \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}\\\\
&= \frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta}\\\\
&= \frac{\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} + \frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} - \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}\\\\
&= \frac{\frac{\sin\alpha\cancel{\cos\beta}}{\cos\alpha\cancel{\cos\beta}} + \frac{\cancel{\cos\alpha}\sin\beta}{\cancel{\cos\alpha}\cos\beta}}{\frac{\cancel{\cos\alpha\cos\beta}}{\cancel{\cos\alpha\cos\beta}} - \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}\\\\
&= \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}
\end{align} 
$$

のように、$\tan=\displaystyle\frac{\sin}{\cos}$ の相互関係を使いつつ、$\cos\alpha\cos\beta$ で分母分子を割って導くのがポイント！

## 例

$$
\begin{align} 
\cos 165^{\circ}&=\cos (120^{\circ}+45^{\circ})\\\\
&=\cos 120^{\circ}\cos 45^{\circ}-\sin120^{\circ}\sin 45^{\circ}\\\\
&=-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\\\\
&=-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}
\end{align}
$$

## 証明

ここでは、$\sin$ と $\cos$ の加法定理を証明する。

※ 結構アクロバティックな証明なので、動画でわかりやすく学びたい！という方は、以下の動画を参照しよう。
- [古賀真輝さんの証明動画](https://okedou.app/videos/hPF158zkFD8)（背景知識の証明も）
- [ガチノビさんの証明動画](https://okedou.app/videos/AJ8sIz9TSLY)（ハイレベルな証明方法も）
- [林俊介さんの証明動画](https://okedou.app/videos/48EgUJVoKCw)（簡潔）

■ まず、単位円上で、角 $\alpha$ の動径 $OA$、角 $\beta$ の動径 $OB$ をとる。動径は、原点を中心としてクルクル回る線だと思っておこう。

![Untitled 1 P1.png](https://oke-files.s3.amazonaws.com/uploads/RYUQSD9bD1bIi/4f6f92f000a94e38b2204b16023f2e2c.png)

このとき、$A$ と $B$ の間の距離について、[2点間の距離の公式](https://dic.okedou.app/words/p/8FmJKYZqppuUk)から、

$$
\begin{align}
AB^2=&(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2\\\\
=&(\cos^2\alpha-2\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta)\\\\
&+(\sin^2\alpha-2\sin\alpha\sin\beta+\sin^2\beta)\\\\
=&2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\cdots(1)
\end{align} 
$$

と表せる。ただし、角度が同じであれば $\sin^2+\cos^2=1$ が成り立つという[三角関数の性質](https://dic.okedou.app/words/p/068nD9NIopdXh)を使った。

一方、**$\triangle OAB$ を原点周りに $-\beta$ だけ回転させて、$\triangle OA'B'$ を作ってみる。**

![Untitled 1 P2.png](https://oke-files.s3.amazonaws.com/uploads/RYUQSD9bD1bIi/d22819207d0344419f24f470f8ebff0f.png)

そうすると、点 $A'$ や点 $B'$ の座標は上のようになり、この2点の間の距離について考えると、同じく[2点間の距離の公式](https://dic.okedou.app/words/p/8FmJKYZqppuUk)から、

$$
\begin{align}
A'B'^2=&(\cos(\alpha-\beta)-1)^2+(\sin(\alpha-\beta)-0)^2\\\\
=&(\cos^2(\alpha-\beta)-2\cos(\alpha-\beta)+1)\\\\
&+\sin^2(\alpha-\beta)\\\\
=&2-2\cos(\alpha-\beta)\cdots(2)
\end{align} 
$$

が得られる。

ここでよくよく考えてみると、$\triangle OAB$ と $\triangle OA'B'$ はただ回転させただけなので、もちろん $AB$ と $A'B'$ の長さは等しいはずである。

よって、$(1)(2)$ より、

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\cdots(3)$$

が成り立つ。これで、**$\cos$ の引き算バージョンの式**の証明が完了。

![Untitled 1 P1.png](https://oke-files.s3.amazonaws.com/uploads/RYUQSD9bD1bIi/63efd835e7474fcb8521cdb6239ff35e.png)

■ $(3)$ の $\beta$ に $-\beta$ を代入すると、

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta)$$

となって、

$$
\begin{align}
\cos(-\beta)&=\cos\beta\\\\
\sin(-\beta)&=-\sin\beta
\end{align}
$$

であることを用いると（この性質については、[こちらの辞書](https://dic.okedou.app/words/p/y7gwz9AuY0uWu)を確認）、

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\cdots(4)$$

となり、**$\cos$ の足し算バージョンの式**を示すことができる。

■ また、$(4)$ の $\alpha$ に $\displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha$ を代入すると、

$$\scriptsize\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha+\beta\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\beta-\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\sin\beta$$

となって、

$$
\begin{align}
\small\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha+\beta\right)&=\small\cos\left(\frac{\pi}{2}-(\alpha-\beta)\right)=\sin(\alpha-\beta)\\\\
\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)&=\sin\alpha\\\\
\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)&=\cos\alpha
\end{align}
$$

であることを用いると（この性質については、[こちらの辞書](https://dic.okedou.app/words/p/y7gwz9AuY0uWu)を確認）、

$$\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta\cdots(5)$$

となり、**$\sin$ の引き算バージョンの式**を示すことができる。

■ そしてさらにこの $(5)$ の $\beta$ に $-\beta$ を代入すると、

$$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos(-\beta) - \cos\alpha\sin(-\beta)$$

となって、上と同様に

$$
\begin{align}
\cos(-\beta)&=\cos\beta\\\\
\sin(-\beta)&=-\sin\beta
\end{align}
$$

を用いることで、

$$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$

となって、**$\sin$ の足し算バージョンの式**を示すことができる。これでめでたく全て示される。

### 補足

- 加法定理の証明は、1999年に東京大学の入試問題となったことでも有名
- 符号がわからなくなったときは、例えば $\alpha=60^{\circ},\beta=30^{\circ}$ などの値が**わかる数を代入し、合っているか確認**することができる

加法定理

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【受験数学#58】三角関数の性質②（加法定理・倍角・半角・三倍角公式）

1999年の東大数学 第1問（文理共通）です

三角関数とベクトルの相性の良さ、数学の奥深さに痺れますね！

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【伝説の東大】教科書には載ってない天才的な証明方法（加法定理）

今週の定理公式シリーズは，毎週金曜日夜18:30投稿．
ヨビノリたくみさんの今週の積分，毎週月曜朝6:30の真逆です．

公式や定理の証明をおさらいしよう，証明を理解すればさらに広がった視野が持てるようになります．そのことをコンセプトにお届けしていきます！
参考：プレックス数学重要公式・定理集 理系版数学1・A・2・B・3 (河合塾シリーズ) （文系版もあります）amazonリンク
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加法定理を寄り道して厳密に証明！［今週の定理・公式No.2］

ばってんです♨️ 三角関数の分野を学んでいれば、いろんな公式や定理を証明する道具として、加法定理が活躍することを知っている方も多いと思います。便利な相棒として、加法定理ファンもそれなりにいると思います。また、マジメなものから下ネタのものまで、ゴロがたくさんあることで有名です。 ですが、そもそも加法定理を証明できますか？ 使えることもとても大事ですが、「なぜ成り立つのか」という証明も同じくらい大事です。 意外と厳密に証明するのが難しいのですが、しっかりと解説している動画、面白い証明方法を扱っている動画をまとめて紹介します。1999年には、この加法定理の証明がまるっと東京大学で出題されて、波紋を呼びました。 <h2 id="h6b449f1aeb">加法定理の証明</h2><h3 id="h36922d4f19">古賀真輝さん</h3>加法定理を寄り道して厳密に証明！ （厳密な証明と言えばこの方です。途中で古賀さんスパイスがかかります） <a href="https://okedou.app/videos/hPF158zkFD8" target="_blank" rel="noopener noreferrer"><img src="https://images.microcms-assets.io/protected/ap-northeast-1:e58b61bd-292e-43cb-af14-814019bf33b5/service/okenavi/media/hPF158zkFD8.png?w=1200&h=630" alt="加法定理を寄り道して厳密に証明！［今週の定理・公式No.2］"></a> <h3 id="h4fc0e9dbc2">ガチノビさん</h3>理３はこうやる！加法定理の導出 （単位ベクトルや斜めの直交座標などを使った証明で、ハイレベルな内容です） <a href="https://okedou.app/videos/AJ8sIz9TSLY" target="_blank" rel="noopener noreferrer"><img src="https://images.microcms-assets.io/protected/ap-northeast-1:e58b61bd-292e-43cb-af14-814019bf33b5/service/okenavi/media/AJ8sIz9TSLY.png?w=1200&h=630" alt="理３はこうやる！加法定理の導出"></a> <h3 id="h9c5b87c069">林俊介さん</h3>【東大の有名問題】sin, cos の三角関数の加法定理の証明 （簡潔でわかりやすい解説動画です） <a href="https://okedou.app/videos/48EgUJVoKCw" target="_blank" rel="noopener noreferrer"><img src="https://images.microcms-assets.io/protected/ap-northeast-1:e58b61bd-292e-43cb-af14-814019bf33b5/service/okenavi/media/48EgUJVoKCw.png?w=1200&h=630" alt="【東大の有名問題】sin, cos の三角関数の加法定理の証明"></a> 【公式証明＆例題】tan の加法定理 （上の動画の続編です。演習問題付きでお得です） <a href="https://okedou.app/videos/DoaXld_y2LM" target="_blank" rel="noopener noreferrer"><img src="https://images.microcms-assets.io/protected/ap-northeast-1:e58b61bd-292e-43cb-af14-814019bf33b5/service/okenavi/media/DoaXld_y2LM.png?w=1200&h=630" alt="【公式証明＆例題】tan の加法定理"></a> たまには証明にも目を向けてみましょう。新たな発見が待っていますよ。 今回はこの辺で。読んでいただき、ありがとうございました！

加法定理の証明動画をまとめてみました！1999年に東大で文理共通問題として出題されたことでも有名です。

加法定理を厳密に証明！過去には東大で出題アリ！

難易度★★★☆☆
講師：高瀬 仁宏 (現大手予備校講師)

～高瀬の５分動画！～
高校数学の必要事項を５分間で解説していきます。授業は『テンポ良く進む』ことを優先してサクサク進みますから、各自必要に応じて動画を止めたりしながらノートをとってください。自分の手を動かすことで習得しやすくなります。

その他の解説動画もyoutubeに公開していきます。活用してください。

私立医学部の過去問、過去問解説動画や、具体的な対策法についてもホームページ(高瀬仁宏の高校数学HP)で公開しております。
ホームページ：http://takasemath.com/


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加法定理とその証明【数Ⅱ 三角関数】現大手予備校講師の５分でわかる！高校数学

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加法定理の主張している内容は、かなりスゴいですよね？
　【式から意味を汲み取る】
という姿勢を意識しておきましょう！

加法定理の証明セット