整数の合同から大学数学に繋がる道を見てみよう。

今週は入試期間なので、基本大学に入れず勉強場所に困ってます。
やっぱり研究室の居心地がいいんですよね。
ゼミもできないし、コマタナキリキザンあくはがね。

そういえば弊学の数学科がやらかしたらしいですが、それについて何か動画を出すかもしれません。
面白そうなので。

その激ゲキ面白動画をいち早くチェックする為にも！　チャンネル登録よろしくお願いします！　ついでに高評価もしてってください。おねげえしますおねげえします。

(p四郎)

【初等整数論入門】
#0 なぜ初等整数論を学ぶのか
#1 一次不定方程式の整数解
#2 合同式
#3 合同方程式←Now!!
#4 Fermatの小定理
#5 平方剰余の相互法則

(中国式剰余定理の動画)
https://www.youtube.com/watch?v=A1DkihUmRYI

(再生リスト)
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MATH

【初等整数論入門#3-2】次数より解が多い方程式!?【合同方程式の解の個数】

うわあああ～～～～～～～～～違うんです違うんです。別に冒頭の小ボケは研究室の先輩に圧力をかけられたとかそういうんじゃないんです。でも笑ってくれないとすごく困るんです。だから笑ってください。お願いしますお願いします。

って言うと、否定してるのに何か本当は圧力かけられたみたいじゃないですか？　いや、本当にかけられてませんよ？(笑)
弊研究室はみんな整数論が好きで、アットホーム(？)な環境です。この大学に来てよかったなあと思う理由の一つですね。

一次不定方程式の整数解は、高校では一般解の導出までしかやりません。でも「ほんとに解を持つの？」「解を持つのはどんなとき？」ということにつていは一切触れないんですね。
割り算と文字式、あとは本当に少しの関数の知識があれば証明できるのに、もったいない気がしませんか？

そしてこの「一次不定方程式の整数解の存在」をもとに合同式や中国式剰余定理へと話は続いていきます。「整数解があるってだけじゃん」と思うかもしれませんが、あることが大事なんです。

(p四郎)

PIDの動画
https://youtu.be/8FX0dgc8bhQ
参考文献
高木貞治, 初等整数論講義, 共立出版, 1931(第1版).


【初等整数論入門】
#0 なぜ初等整数論を学ぶのか
#1 一次不定方程式の整数解 ←Now!!
#2 合同式
#3 合同方程式
#4 Fermatの小定理
#5 平方剰余の相互法則

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【初等整数論入門#1】1次不定方程式はいつ整数解をもつ？【中高生から始める整数論】

今まで合同式と戯れてきましたが、この中国式剰余定理が高校数学とそれより先の一つの区切りなのかなと思います。
これよりも前で紹介してきたことは、高校の授業でも扱うレベルですしね。

最後にイデアルの形でまとめていますが、整数の余りについてまとめたこの形が始まり。
整数論をやる上では切っても切り離せない定理です！

(p四郎)

【初等整数論入門】
#0 なぜ初等整数論を学ぶのか
#1 一次不定方程式の整数解
#2 合同式
#3 合同方程式←Now!!
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【初等整数論入門#3-1】中国1500年の歴史に挑んでみた！！！【中国式剰余定理】

初等整数論入門も折り返し。この動画がこのシリーズを取り始めた"""最大"""のモチベーションです。


僕がこの命題を始めて知ったとき「メチャクチャ面白いじゃん！」と感じたあの衝撃をここに。
そしてp進数とHenselの補題を学んだときのあの感動を最後に。


このまま一気に駆け抜けたいと思います。よろしく‼‼‼‼‼



(p四郎)


参考文献
高木貞治, 初等整数論講義, 共立出版, 1931(第1版).


【初等整数論入門】
#0 なぜ初等整数論を学ぶのか
#1 一次不定方程式の整数解
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【初等整数論入門#3-3】絶対に全部見てほしい。p進数への”道”がある。【mod 5^nと虚数単位i】

「大学の数学を勉強したい！」と思ったけど、いきなり代数学や線形代数の手にとってしまって挫折してしまった……なんて人も多いんじゃないかと思います。具体的な数字は出てこないし、抽象的だしで、何だか遠いところに来てしまったなあ……という感じがします。

でもその点、初等整数論はいいんですよ。だって中高生レベルの知識があればできるから！　さらに、ほんの少しだけ＋αすれば大学の数学レベルの無いようにすぐ繋がるんですよ。つまり大学レベルの整数論でも、実はすぐ近くにかくにあるんです。
ほら、現にフェルマーの最終定理だって簡単でしょ？　見た目だけは。

でも整数分野ってあんまり勉強する機会に恵まれないんですよね。数Aでちょっとやるくらいかな。おまけに新教育課程では「生活と数学」なんてのに吸収されるし。何じゃそりゃ！

みなさんもこの機会に、整数論の一端に触れていきませんか？

(p四郎)


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#2 合同式
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【初等整数論入門#0】初等整数論をなぜ学ぶのか【中高生から始める整数論】

僕が一番好きなポケモンはゼニガメとラグラージです。
バトルで使うならもちのろんラグラージ。始めて買ってもらったルビーからの相棒なので、かなり思い入れの深いポケモンですね。
ペリラグナットは、ラグラージが大活躍できるので凄く好きな並びです。起点作成型よりずっと好きです。パール時代はタイプ相性がいいハッサムと組ませてました。


合同式は高校の教科書に発展扱いで載っています。学校によって、やったりやらなかったりじゃないでしょうか。


この「整数の余り」にはかなり面白い性質があります。現代の整数論では必要不可欠な存在です。メガラグラージに雨が必要なくらい不可欠です。

それを深く掘り下げるのは# 3以降に任せるとして、今回は合同式そのものについて見ていきたいと思います。


そして、中高生が合同式(mod)を学ぶとどんなメリットがあるのか……

整数問題は「不等式でおさえる/挟む」と「約数」が攻略の鍵なので、倍数を用いたこっちの方が、繋がりがわかりやすいでしょ？


次回、演習回！

(p四郎)


あんまり合同式の割り算は、高校生には有名じゃないみたいですね(p四郎調べ)。たぶん教科書に載ってないことが原因っぽい。紹介しておいてよかった^ ^(2020/1/4)


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【初等整数論入門#2-1】合同式(mod)を「余りが等しい」以外で定義します！【中高生から学ぶ整数論】

この間研究室の飲み会がありまして、先輩後輩同期と飲んだんですけどメチャクチャ楽しかったです。4次会までやって半分以上数学の話してました。
まァ、そのときに出されたパインジュースがマジでパインの味がしませんでしたという話。

その後3次会のHUBで飲んだパインジュースは美味かったです。


その飲み会で、研究室の同期が類体論をやりたいと言っていたので、ノイキルヒを勧めたんですよ。
そしたら先輩が「いいよ見てあげるよ」って言い出して、最終的に後輩も含めたノイキルヒゼミが発足しました。

いい研究室だなァ。


ただノイキルヒってマジで分厚いんですよ。広辞苑の次に分厚いです。

p進付値、局所体といった現代整数論の第2ステップ、そして日本が誇る大数学者・高木貞治先生が示された「類体論」についてちゃんと書かれていて、そりゃこの厚みになるわって感じなんですけど。

ってか分冊にして欲しいんですけど。上下巻にして欲しいんですけど。

さらにはゼータ関数とL関数についても載っていて、本当に辞書がわりにできるくらい内容の充実した本です。

あまりに充実しすぎていて、僕はかつてノイキルヒを毎日欠かさず持ち歩いた時期があったんですけど、半年で鞄が破壊されました。重量で金具が摩耗したからです。奴は、凶器だ……


(p四郎)


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【初等整数論入門#2-2】合同式で巨大な数の余りを計算せよ！【合同式演習(初級篇)】

あけましておめでとうございます！

遊戯王の新アニメ・マスタールールの情報が解禁されましたね。デッキの再調整するの面倒じゃないですか？

「いやぁ～どうせ3年後にはリンクなしでもEXデッキから融合・S・Xできるようになってるって～」とか言いながら連続リンク召喚しまくってた身としては、リンクなしの強い布陣がたくさん思いついて困ってます。

特に「このターン融合召喚以外の方法でEXデッキから特殊召喚できない」の文言を無視できるのが嬉しいですね。



今回は合同式の演習問題・中級篇です。中級ということで「証明問題」を入れてみました。

ピタゴラス数って実はもうかなりのことがわかっている印象です。だって全てのピタゴラス数を書き尽くす方法はわかってるし、Q(i)で因数分解できるんだもの。

それでもやはり「ピタゴラス数」を始めて知ったときの驚きは大事にしたいと思います。


(p四郎)


※動画中で(Z/8Z)^×を「整数全体をmod8した集合」としていますが、正しくは「整数全体をmod8したもののうち、代表元が2と互いに素なもの」あるいは「奇数全体をmod8したもの」です。申し訳ありませんでした。(p四郎)


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#3 合同方程式
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【初等整数論入門#2-3】ピタゴラス数に3の倍数があることを示せ！【合同式演習(中級篇)】

長かった(？)合同式演習もこの上級篇でおしまい！

サムネの問題はアイゼンシュタインの既約判定法に通ずるものがあって、例えば円分多項式が因数分解できないことを示したりするのに使えます。面白いです。
素数p,qでp^q q^pとかける素数って問題も大好きです。

こんな面白い問題を思いつくなんて、大学教授って頭いいんだな～(小並感)


最初、上級篇は「『フェルマーの二平方和の定理』を証明せよ」ってやりたかったんですけど、どうしても第一補充法則を回避する証明が思いつかなかったので諦めました。

ルジャンドル記号の話は初等整数論入門のオオトリなので、超級篇と銘打って最後の最後にやろうかな()

(p四郎)

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